Exame Nacional Matemática Aplicada às Ciências Sociais 2026 · 1.ª fase

1. A cada campeonato mundial de futebol está associada uma mascote. Em quatro desses campeonatos mundiais, as mascotes foram: Willie (W), Juanito (J), Naranjito (N) e Footix (F).

Para eleger a mascote preferida dos alunos de uma escola, cada um dos 900 alunos preencheu um boletim de voto no qual ordenou as quatro mascotes referidas, de acordo com as suas preferências. Cada boletim preenchido com uma determinada ordenação correspondia a um voto.

Da votação, resultaram apenas quatro listas de preferências. Na Tabela 1, apresentam-se essas listas com o respetivo número de votos.

* 1.1.

Considere que a eleição da mascote preferida resultou da aplicação do método a seguir descrito.

Seleciona-se um par de mascotes e atribui-se o número de votos registados em cada coluna à mascote mais bem posicionada, de entre as duas selecionadas.

Comparam-se os votos obtidos por essas duas mascotes. A mascote com o maior número de votos é a vencedora desse confronto.

Repetem-se os procedimentos anteriores até uma das mascotes ter vencido todos os confrontos com as restantes. Essa mascote é a vencedora da eleição e, portanto, é eleita a mascote preferida dos alunos da escola.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.

Assinale, na folha de respostas, para cada letra, o número da opção selecionada.

Aplicando o método descrito, é possível definir, no máximo,

(a) confrontos entre duas mascotes, escolhidas de entre as quatro disponíveis.

Naranjito (N) foi a mascote eleita como a preferida dos alunos da escola e, no confronto com Juanito (J), Naranjito (N) obteve

(b) votos. No confronto entre Naranjito (N) e Footix (F), este último obteve

(c) votos. Já no confronto com Willie (W), Naranjito (N) venceu por uma diferença de

(d) votos.

* 1.2.

A Ana resolveu criar um programa para averiguar se, na votação realizada, alguma das mascotes obteve maioria absoluta de votos na primeira preferência. Esse programa, composto por blocos de programação executados de forma sequencial, deve respeitar as etapas seguintes.

1.ª etapa – Solicitar o número de votos em cada mascote na primeira preferência.

2.ª etapa – Determinar o número mínimo de votos para que alguma mascote obtenha maioria absoluta.

3.ª etapa – Verificar se alguma das mascotes obtém maioria absoluta e, nesse caso, dar essa indicação.

4.ª etapa – Caso nenhuma das mascotes obtenha maioria absoluta, dar essa indicação.

Na Figura 1, apresentam-se os blocos de programação, B1, B2, B3 e B4, do programa criado pela Ana para cumprir as etapas definidas.

Qual deve ser, no programa criado pela Ana, a sequência dos blocos de programação?

2. Duas agências de venda de bilhetes, a Blackticket (BT) e a Whiteticket (WT), foram encarregadas da venda da totalidade de bilhetes para os sectores S1, S2, S3 e S4 de um estádio onde irá ocorrer um jogo de um campeonato mundial de futebol.

As duas agências negociaram entre si os sectores cujos bilhetes cada uma poderá vender, utilizando o método que a seguir se descreve.

Cada agência atribui pontos a cada um dos quatro sectores, secretamente, de acordo com as suas preferências e de modo que o total dos seus pontos seja 100.

Cada sector é destinado, temporariamente, à agência que mais o valoriza.

Com esta distribuição, determina-se o total de pontos dos sectores temporariamente destinados a cada agência. Se as duas agências tiverem o mesmo número de pontos, a distribuição temporária torna-se definitiva. Caso contrário, procede-se ao ajuste da partilha, de modo que as agências obtenham o mesmo número total de pontos, através da partilha de um dos sectores.

Seja A a agência com o total de pontos mais elevado e B a outra agência. A agência A transfere uma parte de um sector para a agência B, até ficarem ambas com o mesmo número de pontos. Para decidir qual o sector a partilhar pelas duas agências, calculam-se os quocientes referentes aos sectores atribuídos à agência A:$$\frac{\text{Número de pontos atribuídos ao sector pela agência A}}{\text{Número de pontos atribuídos ao sector pela agência B}}$$O sector usado para fazer o ajuste, e que será partilhado pelas agências, será aquele a que corresponde o menor quociente.

Representa-se o total final de pontos a atribuir à agência A pela diferença entre o total temporário dos seus pontos e $x$ por cento do valor por ela atribuído ao sector a partilhar.

Representa-se o total final de pontos a atribuir à agência B pela soma do total temporário dos seus pontos com $x$ por cento do valor por ela atribuído ao sector a partilhar.

Igualam-se os dois totais finais de modo a determinar o valor de $x$, que estabelece o equilíbrio da partilha.

A agência B fica responsável pela venda dos bilhetes do(s) sector(es) a si destinado(s) temporariamente e de $x$ por cento dos bilhetes do sector a partilhar, e a agência A fica com o restante.

Na Tabela 2, estão registados os pontos atribuídos por cada uma das agências aos sectores do estádio de futebol.

Admita que cada um dos sectores do estádio de futebol, S1, S2, S3 e S4, tem 21 000 lugares.

Determine quantos bilhetes para esse jogo do campeonato mundial de futebol estarão à venda na agência Blackticket, por aplicação do método descrito.

Na sua resposta: apresente a partilha temporária dos sectores pelas agências;

determine o total de pontos atribuídos aos sectores temporariamente destinados a cada agência;

indique, justificando, o sector a partilhar pelas duas agências;

apresente a equação que traduz o equilíbrio da partilha e resolva-a.

1.

Sectores temporários BT:

Total de pontos BT:

Sectores temporários WT:

Total de pontos WT:

2.

3.

%

4.

Aproveitando a promoção apresentada na Figura 2, disponível num sítio da Internet, a Fernanda, dona de uma loja, pretende comprar camisolas de diversas seleções de futebol.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.

Assinale, na folha de respostas, para cada letra, o número da opção selecionada.

Em cada compra neste sítio da Internet, a Fernanda pretende escolher sempre a opção mais económica.

Se comprar 16 camisolas, a Fernanda terá de pagar. Se optar por comprar 21 camisolas, o preço por camisola, arredondado aos cêntimos, será. Na compra de 17 camisolas, recorrendo à promoção, a Fernanda fará uma poupança de face à compra das camisolas sem promoção.

A Fernanda deverá comprar um conjunto de camisolas, para que o preço por camisola seja exatamente 52% do preço de cada camisola comprada individualmente e, portanto, sem promoção.

4. Em 2026, os jogos do campeonato mundial de futebol distribuem-se por dezasseis estádios, sediados em cidades de três países, o Canadá, os Estados Unidos da América (EUA) e o México.

Num sítio da Internet onde se divulga este evento, são apresentadas a Tabela 3 e a Tabela 4.

Na Tabela 3, apresentam-se o país e a cidade onde estão sediados alguns desses estádios e o número máximo de espectadores por estádio, ou seja, a sua capacidade.

Na Tabela 4, apresenta-se a duração, em horas, de voos diretos entre as cidades onde estão sediados os estádios apresentados na Tabela 3.

A Maria, que vive nos EUA, gostaria de conhecer o estádio com maior capacidade de cada um dos três países e, além desses, os que têm uma capacidade acima de 70 000 espectadores. Para escolher os estádios a conhecer, a Maria consultou a Tabela 3.

Escolhidos os estádios que gostaria de conhecer, a Maria decidiu que começaria pelo estádio sediado em Kansas City, por ser a cidade onde vive.

Para definir a ordem pela qual visitará as cidades onde esses estádios estão sediados, a Maria consultou a Tabela 4 e aplicou o método a seguir descrito.

Seleciona-se a cidade seguinte, tendo em conta que: deverá corresponder à viagem com menor tempo de voo direto;

se houver dois tempos de voo iguais entre cidades, escolhe-se a cidade onde está sediado o estádio com maior capacidade.

Procede-se como foi indicado no ponto anterior, sem repetir nenhuma cidade e terminando após a passagem por todas as cidades onde estão sediados os estádios escolhidos pela Maria.

Apresente a ordem pela qual a Maria visitará as cidades.

Na sua resposta, apresente um grafo que resulte da aplicação do método descrito.

5. As portas do estádio A, num campeonato mundial de futebol, abriram-se, para a entrada dos espectadores, exatamente duas horas antes do início de um determinado jogo.

Considere que o número de espectadores, em milhares, que estavam dentro desse estádio, $t$ minutos após a abertura das portas e até o jogo se iniciar, é bem aproximado pelo modelo seguinte, com arredondamento às milésimas.

$$A(t) = -45 + 45 \log_{10}(2t + 10)$$

5.1.

Considere o intervalo de tempo que decorreu entre a abertura das portas do estádio A e o instante em que o número de espectadores que estavam dentro do estádio atingiu os 30 milhares.

Determine, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, o número de espectadores que já tinham entrado no estádio A a meio desse intervalo de tempo.

Na sua resposta:

represente, em referencial cartesiano, o(s) gráfico(s) visualizado(s) e assinale o(s) ponto(s) relevante(s);

apresente a(s) coordenada(s) relevante(s) desse(s) ponto(s), com arredondamento às milésimas.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve três casas decimais.

5.2.

Num outro estádio, o estádio B, decorreu um jogo que teve início à mesma hora do que o realizado no estádio A. As portas do estádio B abriram-se, para a entrada dos espectadores, um pouco mais cedo do que as portas do estádio A.

Considere que o número de espectadores, em milhares, que entraram no estádio B, em função do tempo $t$, em minutos, é bem aproximado pelo modelo seguinte, com arredondamento às milésimas.

$$B(t) = -35 + 35 \log_{10}(t + 50)$$

em que $t = 0$ corresponde ao instante de abertura das portas do estádio A.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.

Dez minutos depois da abertura das portas do estádio A, encontrava-se nesse estádio um número de espectadores entre

.

Quando o estádio A abriu as portas, no estádio B já tinham entrado entre

espectadores. O número de espectadores igualou-se em ambos os estádios quando tinham decorrido entre

minutos após a abertura das portas do estádio A.

O tempo, em minutos, que decorreu entre a abertura das portas dos estádios A e B correspondeu a um valor situado entre

.

Ao entrar num estádio onde decorreu um jogo de um campeonato mundial de futebol, cada um dos $50\ 000$ espectadores foi questionado acerca da distância, em quilómetros, entre o estádio e o seu alojamento, e acerca da sua idade, em anos.

As respostas relativas às distâncias, em quilómetros, entre o estádio e o alojamento, organizadas nas classes $[0, 100[$, $[100, 200[$, $[200, 300[$ e $[300, 400[$, apresentam-se, parcialmente, no Gráfico 1. Admita que essas distâncias se distribuem uniformemente em cada uma das classes.

A Tabela 5, parcialmente preenchida, relaciona essas distâncias com as idades dos espectadores, em anos, organizadas nas classes $[5, 30[$, $[30, 55[$ e $[55, 80[$.

6.1. Determine, em média, a que distância do estádio, em quilómetros, está alojado cada espectador.

Ao entrar num estádio onde decorreu um jogo de um campeonato mundial de futebol, cada um dos $50\ 000$ espectadores foi questionado acerca da distância, em quilómetros, entre o estádio e o seu alojamento, e acerca da sua idade, em anos.

As respostas relativas às distâncias, em quilómetros, entre o estádio e o alojamento, organizadas nas classes $[0, 100[$, $[100, 200[$, $[200, 300[$ e $[300, 400[$, apresentam-se, parcialmente, no Gráfico 1. Admita que essas distâncias se distribuem uniformemente em cada uma das classes.

A Tabela 5, parcialmente preenchida, relaciona essas distâncias com as idades dos espectadores, em anos, organizadas nas classes $[5, 30[$, $[30, 55[$ e $[55, 80[$.

6.2. Admita que 25% dos espectadores têm idades pertencentes à classe $[55, 80[$.

Quantos destes espectadores estão alojados a uma distância superior ou igual a 300 km do estádio?

()

7. Numa iniciativa promocional de um campeonato mundial de futebol, realizou-se um passatempo no qual uma pessoa era convidada a rodar uma vez uma roleta equilibrada. A roleta estava dividida em seis sectores circulares, numerados, de igual amplitude. Sempre que a roleta parava após ser posta em movimento, o ponteiro indicava um sector. O prémio a atribuir consistia em camisolas das seleções em competição, tantas quantas o número assinalado pelo ponteiro quando a roleta parava.

Seja $X$ a variável aleatória: «número de camisolas ganhas».

A Tabela 6 representa a tabela de distribuição de probabilidade da variável aleatória $X$ para a roleta que foi utilizada.

Tabela 6

$x_i$

$0$

$1$

$2$

$P(X = x_i)$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{6}$

Qual das roletas seguintes poderá ter sido a utilizada?

8. Num campeonato mundial de futebol, ocorreu um jogo entre as seleções de Portugal e de França. Antes de o jogo começar, cada um dos 62 clientes de um restaurante, que se encontravam ou na sala S1 ou na sala S2, indicou qual das seleções preferia que vencesse aquele jogo.

Na Tabela 7, apresentam-se os resultados obtidos.

8.1. Escolhem-se aleatoriamente dois dos clientes, um a seguir ao outro, de entre os contabilizados na Tabela 7.

Determine a probabilidade de os dois estarem em salas diferentes e de ambos preferirem que a seleção vencedora fosse a seleção de Portugal.

Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às milésimas.

8. Num campeonato mundial de futebol, ocorreu um jogo entre as seleções de Portugal e de França. Antes de o jogo começar, cada um dos 62 clientes de um restaurante, que se encontravam ou na sala S1 ou na sala S2, indicou qual das seleções preferia que vencesse aquele jogo.

Na Tabela 7, apresentam-se os resultados obtidos.

8.2. Dos 40 clientes que estavam na sala S1, alguns vestiam um equipamento de uma seleção.

Admita que:

• $\frac{1}{4}$ dos clientes que preferiam que a seleção de França fosse a vencedora vestiam um equipamento de uma seleção;

• $87{,}5\%$ dos clientes que preferiam que a seleção de Portugal fosse a vencedora vestiam um equipamento de uma seleção.

Seleciona-se, ao acaso, um cliente que estava na sala S1 e que vestia um equipamento de uma seleção.

Determine a probabilidade de esse cliente preferir que a seleção de Portugal fosse a vencedora.

Apresente o resultado na forma de dízima.

9. Antes do início de um campeonato mundial de futebol, o José consultou um artigo de um jornal desportivo que, entre outros dados, apresentava o intervalo $[0{,}1342;\, 0{,}2658]$ como sendo um intervalo a $90\%$ de confiança para a proporção de pessoas que consideravam que a seleção vencedora desse campeonato mundial seria a seleção de Portugal.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.

Assinale, na folha de respostas, para cada letra, o número da opção selecionada.

A margem de erro do intervalo de confiança apresentado é igual a

(a). Se o nível de confiança fosse alterado para $95\%$ e os outros parâmetros se mantivessem, a margem de erro seria

(b).

A média dos extremos do intervalo de confiança apresentado é igual

(c).

No intervalo de confiança apresentado, a dimensão da amostra é igual a

(d).

(a)

(b)

(c)

(d)

(1) 0,0658

(1) menor

(1) à amplitude do intervalo

(1) 100

(2) 0,1316

(2) igual

(2) à proporção amostral

(2) 110

(3) 0,2632

(3) maior

(3) ao nível de confiança

(3) 120

10. As bolas de futebol produzidas para um campeonato mundial de futebol obedecem a regras padronizadas de fabrico e controlo de qualidade.

Admita que, num dado processo de fabrico, o raio das bolas pode ser modelado por uma variável com média $10{,}9\text{ cm}$ e desvio padrão $0{,}54\text{ cm}$.

Selecionou-se, ao acaso, uma amostra de $81$ bolas produzidas para um campeonato mundial de futebol segundo esse processo.

Determine a probabilidade de a média dos raios das bolas da amostra ser superior a $10{,}78\text{ cm}$.

Apresente o resultado, na forma de dízima, arredondado às centésimas.

Caso proceda a arredondamento nos cálculos intermédios, conserve cinco casas decimais.