Examen de Matemáticas II PAU Navarra 2026 · Extraordinaria

En Navarra, aproximadamente un 1,4 % de la población es intolerante al gluten. Un test de intolerancia al gluten tiene una sensibilidad del 97 % (es decir, si se aplicase a 100 personas intolerantes al gluten, se espera que 97 darían positivo y 3 negativo). El mismo test tiene una especificidad del 96 % (aplicando el test a 100 personas sin intolerancia, 96 darían negativo y 4 positivo). Elegimos una persona al azar:

(i)

¿Cuál es la probabilidad de que el test le dé positivo?

(ii)

¿Cuál es la probabilidad de que le dé negativo?

(iii)

¿Cuál es la probabilidad de que, si le da positivo el test, sea intolerante al gluten?

Sea $y = f(x)$ la función positiva que cumple la ecuación $(x - 1)^2 + y^2 = 1$.

(i)

Expresa $y$ en función de $x$ y demuestra que existe un punto $c$ en su dominio tal que $f'(c) = -1$. Enuncia el resultado teórico utilizado, y justifica su uso.

Sea $y = f(x)$ la función positiva que cumple la ecuación $(x - 1)^2 + y^2 = 1$.

(ii)

¿Cuánto vale el área comprendida entre la curva $y = f(x)$ y el eje $OX$?

Encuentra la ecuación continua de la recta $t$ que pasa por el punto $A(2, 4, -2)$ y corta a las rectas

$$s \equiv \frac{x - 2}{-1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{1} \quad \text{y} \quad r \equiv \begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = -2 \\ z = 1 + 3\lambda \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}.$$

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible indeterminado:

$$\begin{cases} (a^2 - 4)x + (a + 2)y + 2z = 4 \\ (4 - a^2)x + z = 2 \\ (a^2 - 4)x + (a + 2)y + az = -4 \end{cases}$$

Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Dadas las siguientes matrices $A$ y $B$, calcula $|A \cdot B^{-1}|$ en función del parámetro $t$. ¿Para qué valores de $t$ no existe $|A \cdot B^{-1}|$?

$$A = \begin{pmatrix} t + 1 & t^2 & 2 \\ t + 1 & t^2 + t - 2 & 2 - t \\ t + 1 & t^2 & 4 \end{pmatrix} \quad; \quad B = \begin{pmatrix} t & 3t & t^2 - 1 \\ 0 & t & 2 - t \\ t & 4t & t^2 \end{pmatrix}$$

a)

b)

Calcula la siguiente integral indefinida y el límite:

$$\int \frac{e^2 \cdot e^{\tan(x)}}{4 \cdot \cos^2(x)} \, dx \quad; \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{2^x - 2}{4^{\frac{x-2}{2x+1}} - 1}$$

a)

b)

Estudia las asíntotas y simetrías de la función:

$$f(x) = \frac{3x^2 + 2}{x - 2}$$

a)

b)

c)

d)