Examen de Matemáticas II PAU Navarra 2026 · Ordinaria

Dada una hoja de papel de dimensiones $20\text{ cm} \times 30\text{ cm}$, calcula el lado del cuadrado a recortar en cada esquina de forma que la caja resultante de subir las solapas que quedan, sea de volumen máximo.

Calcula los valores posibles de $r$ y $t$ para que $|A| + |B| = 4$, sabiendo que:

$$A = \begin{pmatrix} t & t & t \\ t & 3+t & -3+t \\ 2 & -1 & 5 \end{pmatrix} \quad; \quad B = \begin{pmatrix} 1+r & r & 3r \\ 2 & -1 & 1 \\ r & r & 3r \end{pmatrix}$$

a)

b)

Encuentra la ecuación continua de la recta $t$ que corta perpendicularmente a las rectas

$$r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y+3}{1} = \frac{z-2}{-2} \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x = -4 + 3\lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = -1 + 2\lambda \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}$$

En un examen tipo test de 10 preguntas, cada pregunta tiene para elegir 4 respuestas, de las cuales sólo una es correcta. Si se responde al azar:

(i)

¿Cuál es la probabilidad de fallar todas?

(ii)

¿Cuál es la probabilidad de acertar 7 exactamente?

(iii)

Para aprobar se deben responder al menos 7 bien. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar?

Desde hace siglos, tal y como quedó reflejado en una sentencia de 1375, cada 13 de julio los habitantes de Bearne entregan tres vacas a los roncaleses, conociéndose tal tratado como el Tributo de las Tres Vacas o Iror Beien Emontarzuna (en roncalés). Dado que los habitantes del valle del Roncal hablaban roncalés (dialecto del euskera) y los habitantes de Bearne hablaban bearnés (dialecto del gascón), se cree que fueron los suletinos quienes, además de participar en el arbitraje junto con habitantes de Ansó, facilitaron las labores de traducción, pues es sabido que algunos de ellos hablaban tanto el suletino (dialecto del euskera cercano al roncalés) como el bearnés.

Supongamos que se juntaron 5 bearneses, 5 roncaleses y 2 suletinos sobre la Piedra de San Martín. Suponiendo que los bearneses se comunican entre sí en bearnés, los roncaleses en euskera y que los suletinos también hablaban entre ellos únicamente en euskera (pero siendo estos últimos capaces de comunicarse en bearnés con los habitantes de Bearne), responde:

(i)

Cogiendo dos personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se comuniquen en euskera?

(ii)

Cogiendo dos personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se comuniquen en bearnés?

(iii)

En 1375, tras firmar la paz, los 5 roncaleses y 5 bearneses se fueron a la cantina de Joantxo a celebrarlo. Si en una mesa han sido sentados tres ellos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no hablen todos el mismo idioma?

El pintor Coreano Tokien-co Lorelari idea sus cuadros mediante funciones matemáticas. El cuadro mostrado (conformado por cielo azul, sol amarillo, monte verde y mar azul oscuro) está compuesto por las curvas correspondientes a las siguientes tres ecuaciones:

$$y = 0{,}15+\frac{1}{20}\cos(4\pi x);\quad (x-0{,}3)^2+(y-0{,}7)^2 = \frac{1}{100};\quad y = 0{,}2+x\cdot |\sin(2\pi x)|$$

Asocia cada curva con su ecuación. ¿Qué porcentaje del cuadro es monte visible (verde)?

a)

Asocia cada ecuación con el elemento del cuadro que delimita o representa:

b)

%

Sea $f(x) = \log_2(x \cdot (\sin(\pi x) + 2))$. Demuestra que existe un punto $c$ en $[2, 4]$ tal que $f'(c) = \frac{1}{2}$.

Demostración completada. Compara tu desarrollo con la solución oficial detallada a continuación.