Examen de Matemáticas II PAU Navarra 2024 · Extraordinaria

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible:

$$\begin{cases} x + (a^2 + a)z = 0 \\ x + (2a - 1)y + (a + 1)z = a \\ (2a - 1)y + (a + 1)z = 0 \end{cases}$$ Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso. [2,5 puntos]

Sean $A$, $P$ y $Q$ tres matrices cuadradas regulares tales que $Q \cdot A \cdot P = I$, donde $I$ es la matriz identidad de la misma dimensión.

a)

Demuestra que $A \cdot P \cdot Q \cdot A = Q^{-1} \cdot P^{-1}$ [1,5 puntos]

b)

Calcula la matriz $A$ para el caso en que $P$ y $Q$ sean las siguientes:

$$P = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \quad\text{y}\quad Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

$a_{11} =$ $a_{12} =$

$a_{21} =$ $a_{22} =$

Se consideran el plano $\pi \equiv 2x + y - z - 5 = 0$, la recta $r \equiv \begin{cases} x + 2z + 3 = 0 \\ -x - y + z + 4 = 0 \end{cases}$ y los puntos $A(3, 2, -1)$ y $B(1, 1, -1)$. Sea $C$ la intersección entre la recta y el plano.

a)

Demuestra que los puntos $A$, $B$ y $C$ no están alineados. [1,25 puntos]

$x_C =$ $y_C =$ $z_C =$

b)

Calcula el área del triángulo que conforman los tres puntos. [1,25 puntos]

El punto $P(4, 5, 0)$ es el punto medio de un lado de un cuadrado. El lado paralelo al anterior está contenido en la recta de ecuación $$r \equiv \begin{cases} 2x + 2y + z = 0 \\ 2x - z - 2 = 0 \end{cases}$$ Calcula los dos vértices que determinan este segundo lado.

(

,

,

)

(

,

,

)

P5) Calcula los siguientes límites:

a)

$$\lim_{x\to +\infty} \frac{(\ln x)^2}{\sqrt{x}}$$ [1,25 puntos]

b)

$$\lim_{x\to 1} x^{\frac{2x}{x-1}}$$ [1,25 puntos]

P6) Se considera la función $f(x) = \cos(\pi x) + \sin(\pi x)$.

a)

Estudia la continuidad de la función en el intervalo $[0, 1]$. [0,5 puntos]

b)

Halla sus extremos relativos y absolutos en ese mismo intervalo. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso. [2 puntos]

P7) Se considera la función $f(x) = \sqrt{2x^2 + 2x + 3}$.

a)

Demuestra que la función es continua en el intervalo $[-1, 3]$ y derivable en $(-1, 3)$. [1,25 puntos]

b)

Comprueba que existe un valor $\alpha \in (-1, 3)$ tal que $f'(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso. [1,25 puntos]

P8) Encuentra los dos puntos en los que se cortan las gráficas de estas dos funciones:

$$f(x) = \ln x \quad \text{y} \quad g(x) = \frac{x-1}{e-1}$$

Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas. [2,5 puntos]