Examen de Matemáticas II PAU Navarra 2023 · Extraordinaria

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible:

$\begin{cases}

a x + y - 2 z = 1 \\

3a x + a^2 y - 2a^2 z = 3 \\

-a x - y + (a^2 - 1) z = a + \sqrt{3} - 1

\end{cases}$

Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Calcula el valor de $a$ para que la siguiente matriz no sea regular:

$A = \begin{pmatrix}

-3 & 2 & -1 & -1 \\

-2 & 0 & 1 & a + 3 \\

-3 & 1 & 2 & 2 \\

-2 & 0 & 2 & 2

\end{pmatrix}$

Halla la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P(-3,-2,3)$ y que corta a las rectas $r$ y $s$, siendo

$$r \equiv \begin{cases} x + y - z - 1 = 0 \\ x - y + 2z + 1 = 0 \end{cases} \quad y \quad s \equiv \frac{x - 3}{-1} = \frac{y + 5}{2} = \frac{z + 3}{1}$$

Halla el plano paralelo a $r$ y $s$ que se encuentra a $3u$ de $r$ y $6u$ de $s$ siendo

$$r \equiv \begin{cases} 2x - y + 2z + 7 = 0 \\ 5x + 2y + 2z - 2 = 0 \end{cases} \quad y \quad s \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{0} = \frac{z - 5}{-1}$$

P5) Calcula las derivadas de las siguientes funciones y sus valores en el punto $x = 0$:

a)

$f(x) = \ln\left[\cos(\pi x) \cdot e^{x^2 + 2x}\right]$

[1,25 puntos]

b)

$g(x) = \arctan\sqrt{1 + 2x + e^{2x}}$

[1,25 puntos]

P6) Se considera la función

$$f(x) = \frac{\cos\left[\frac{\pi}{2}(x - 1)\right]}{x^2 - 6x + 10}$$

a)

Estudia la continuidad de la función en el intervalo $[1, 4]$.

[0,75 puntos]

b)

Comprueba que existen dos valores $\alpha$ y $\beta$ en el intervalo $(1, 4)$ tales que $f(\alpha) = -\frac{1}{2} = f(\beta)$.

Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.

[1,75 puntos]

P7) Se considera la función

$$f(x) = \sqrt{\frac{1}{2} - \sin\frac{\pi x}{6}}$$

a)

Demuestra que la función es continua en el intervalo $[7, 11]$ y derivable en $(7, 11)$.

[1,25 puntos]

b)

Comprueba que existe un valor $\alpha \in (7, 11)$ tal que $f'(\alpha) = 0$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.

[1,25 puntos]

Valor de $\alpha$:

P8) La curva de la imagen corresponde a la función $f(x) = x \cdot \sin x$. Tal y como se intuye, la curva corta el eje $OX$ en infinitos puntos:

Encuentra los puntos $P$ y $Q$, y, a continuación, calcula el área de la región del plano sombreada.

[2,5 puntos]

1.

Puntos de corte $P$ y $Q$ (coordenadas de la forma $(x, 0)$):

Abscisa de $P$: $x_P =$

Abscisa de $Q$: $x_Q =$

2.