Examen de Matemáticas II PAU Navarra 2021 · Extraordinaria

P1) Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible:

$$\begin{cases} ax + (a - 2)y = a - 2 \\ ax + (a^2 - 2a)y + 2z = a \\ 3ax + (a^2 - 4)y + z = 4a - 4 \end{cases}$$

Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

[2.5 puntos]

P2) Calcula los valores de $t$ para que se cumpla $|A \cdot B^{-1}| = 1$, siendo $A$ y $B$ las siguientes matrices:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & t & -t \\ 2t-1 & t-1 & t \\ t-2 & 0 & t-2 \end{pmatrix} \quad y \quad B = \begin{pmatrix} t-1 & t & -t \\ 1-2t & 2t & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

[2.5 puntos]

P3) Calcula la ecuación continua de la recta que corta perpendicularmente a las siguientes rectas:

$$r \equiv \begin{cases} 2y + z = 0 \\ x + y = 0 \end{cases} \quad y \quad s \equiv \frac{x-6}{-1} = \frac{y-6}{5} = \frac{z-2}{2}$$

[2.5 puntos]

P4) Halla un plano que sea tangente a la esfera de radio 3 y centro $(0,0,0)$, y que corte perpendicularmente a la recta:

$$r \equiv \frac{x-3}{2} = \frac{y-4}{1} = \frac{z+4}{-2}$$

Encuentra el punto de tangencia del plano con la esfera, y calcula la ecuación continua de la recta que pasa por ese punto y corta perpendicularmente a $r$.

[2.5 puntos]

Calcula los siguientes límites:

a)

$$\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3x^3 + 2x^2} - \sqrt{3x^3}}$$

[1,25 puntos]

b)

$$\lim_{x\to \infty} x \cdot \sin \frac{1}{x}$$

[1,25 puntos]

Se considera la función $$f(x) = \log_2 \left[ \sin \frac{\pi (x+1)}{4} + 2^{\frac{x-5}{2}} \right]$$.

a)

Demuestra que la función es continua en el intervalo $[6,7]$.

[1 punto]

b)

Demuestra que existe un valor $\alpha \in (6,7)$ tal que $f(\alpha) = 0$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.

[1,5 puntos]

Se considera la función $$f(x) = \sqrt{x + \sin \frac{\pi x}{2}}$$.

a)

Demuestra que la función es continua en el intervalo $[1,3]$.

[0,75 puntos]

b)

Demuestra que existen dos valores $\alpha \in (1,2)$ y $\beta \in (2,3)$ tales que $f'(\alpha) = f'(\beta) = 0$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.

[1,75 puntos]

Teniendo en cuenta los datos que aparecen en el siguiente gráfico, calcula el área de la región sombreada.

[2,5 puntos]