Examen de Matemáticas II PAU Navarra 2022 · Extraordinaria

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible:

$$\begin{cases} (a^2 - 1)x + ay + a^2z = 1 \\ (a^2 - 1)x + (a+1)y + (a^2+a)z = 2 \\ y + (a^2+2a)z = a+2 \end{cases}$$

Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso. [2,5 puntos]

Demuestra que se cumple $|A \cdot B| = 0$ para toda matriz $A$ de dimensión $3 \times 2$, siendo $B$ la siguiente matriz:

$$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

[2,5 puntos]

Calcula la ecuación general del plano $\pi$ perpendicular al plano $\alpha \equiv 2x - y - z - 1 = 0$, sabiendo que contiene al punto $P(-1,2,1)$ y que la intersección de ambos planos es paralela a la siguiente recta:

$$r \equiv \begin{cases} x + y - 2z - 3 = 0 \\ y - z - 3 = 0 \end{cases}$$

[2,5 puntos]

Encuentra los puntos de la recta $r \equiv \begin{cases} 3x - y + z - 6 = 0 \\ x - y + 3z - 8 = 0 \end{cases}$ que son centro de una esfera de radio $3$, tangente al plano $\pi \equiv 2x + 2y - z - 7 = 0$.

Introduce las coordenadas de los dos puntos obtenidos ordenados de menor a mayor coordenada $x$.

$x_1 =$

$y_1 =$

$z_1 =$

$x_2 =$

$y_2 =$

$z_2 =$

Sea la función $f(x) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\ln\dfrac{1}{x}\right)$.

a)

Demuestra que la función es continua en el intervalo $\left[\dfrac{1}{e}, e\right]$. [0,75 puntos]

b)

Demuestra que existe un valor $\alpha \in \left(\dfrac{1}{e}, e\right)$ tal que $f'(\alpha) = \dfrac{e\sqrt{2}}{1-e^2}$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso. [1,75 puntos]

Calcula los siguientes límites:

a)

$$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x^2}{x^2+x-1}\right)^{2x-1}$$ [1,25 puntos]

b)

$$\lim_{x \to 0} \frac{(e^x-1)^2}{\ln(x+1)-x}$$ [1,25 puntos]

Sea la función $f(x) = \ln\left(\sin\dfrac{\pi x}{6} - \cos\dfrac{\pi x}{6}\right)$.

a)

Demuestra que la función es continua en el intervalo $[2, 4]$. [1 punto]

b)

Demuestra que existe un valor $\alpha \in (2, 4)$ tal que $f(\alpha) = 0$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso. [1,5 puntos]

Calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de estas dos funciones: [2,5 puntos]

$$f(x) = x^3 - 3x - 2 \quad \text{y} \quad g(x) = x - 2$$