Examen de Matemáticas II PAU Navarra 2025 · Extraordinaria

El ayuntamiento de Baigorri quiere modificar la estructura del skate park que obedece a la función negativa $y = f(x)$ correspondiente a la ecuación $x^2 + y^2 = 4$, pasando este de ser un semicírculo de $2\text{ metros}$ de radio a tener la siguiente forma (simétrica respecto al eje $OY$):

(a)

Calcula el punto $P$.

(b)

De entre todas las rectas que prolongan el arco de circunferencia $\widehat{QP}$ y pasan por $P$, calcula la ecuación de aquella que permite que la trayectoria del skate no se vea alterada al pasar de la curva a la recta (no hay baches).

$y =$

Un ciclista de montaña quiere ir de un punto $A$, localizado en el monte a $8\text{ km}$ de una pista recta, a un punto $C$ ubicado al final de la misma. Sabiendo que por la pista circulará a $20\text{ km/h}$ y fuera de ella a $12\text{ km/h}$, calcula a qué distancia de $B$ debe unirse a la pista para llegar a $C$ en el menor tiempo posible.

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $m$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible:

$$\begin{cases} (m^2 - m)x + (m+2)y - z = 1 - m^2 \\ (m^2 - m)x + (2m+1)y = 2 \\ (m - m^2)x - (2m+1)y + (m+2)z = 2m + 2 \end{cases}$$

Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Sean $A$ y $B$ dos matrices cuadradas $3 \times 3$ tales que $|A| = \frac{1}{3}$ y $|B| = 3$. Calcula $|C|$ sabiendo que

$$C = 3 \cdot (A^t)^2 \cdot (A \cdot B)^{-1}$$

Calcula la ecuación continua de la recta $t$ que corta perpendicularmente a las rectas $r$ y $s$, siendo:

$$r \equiv \begin{cases} x + y - 2z - 10 = 0 \\ x + z - 3 = 0 \end{cases} \qquad s \equiv \frac{x-4}{-1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{-1}$$

Calcula la ecuación del plano que equidista de los puntos $A(3, 3, 5)$ y $B(1, -1, 1)$. Calcula la ecuación de los planos que distan del plano anterior $6u$.

Sea $f(x) = e^{x\cdot\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)}$.

(a)

Demuestra que existe un punto $c \in (2,3)$ tal que $f(c) = \frac{1}{2}$. Enuncia y justifica el resultado teórico empleado. [1,25 puntos]

(b)

Demuestra que existe un punto $d \in (0,2)$ tal que $f'(d) = 0$. Enuncia y justifica el resultado teórico empleado. [1,25 puntos]

Calcula los tres puntos de corte entre $f(x) = \sin(\pi x)$ y $g(x) = x^3 - x$. Calcula el área encerrada entre ambas curvas. [2,5 puntos]

$x_1 =$

$x_2 =$

$x_3 =$

$\text{Área} =$

$u^2$