Examen de Matemáticas II PAU Navarra 2022 · Ordinaria

P1) Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible:

$\begin{cases}

x + (a^2 - 2a)y - z = -a^2 \\

x + (a^2 - 4)y + (2a - 3)z = -a^2 - 2a \\

x + (a^2 - 4a + 4)y + (a^2 - 2a)z = -a^2 + a - 1

\end{cases}$

Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

P2) Calcula los valores de $t$ para los que la matriz $A^{26} + A^{25}$ es matriz singular, siendo:

$$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & t-1 \end{pmatrix}$$

$t =$

P3 Calcula la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $T \equiv (1, -5, 3)$ y corta a las siguientes rectas:

$$r \equiv \begin{cases} -x - y - z + 3 = 0 \\ 3x + z - 10 = 0 \end{cases} \quad y \quad s \equiv \frac{x}{-2} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z - 2}{1}$$

P4) Calcula la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P \equiv (1, 2, -1)$, es paralela al plano $\pi \equiv 2x - y + z = 0$ y corta a la recta:

$$r \equiv \begin{cases} x - y + 2z + 2 = 0 \\ 3x - y - z - 3 = 0 \end{cases}$$

P5) Calcula las siguientes integrales indefinidas:

a)

$$\int \frac{dx}{2x\sqrt{x-1}}$$

[1,25 puntos]

b)

$$\int (3-2x)e^{-2x}\,dx$$

[1,25 puntos]

Se considera la función $f(x) = e^{\frac{1}{\sin x + \cos x}}$.

a)

Estudia la continuidad de la función en el intervalo $[0, \pi]$. (0.75 puntos)

Se considera la función $f(x) = e^{\frac{1}{\sin x + \cos x}}$.

b)

Halla su extremo relativo en ese mismo intervalo. (1.75 puntos)

Se considera la función $$f(x) = \frac{e^{x^2-2}}{x}$$

a)

Demuestra que la función es continua en el intervalo $[-2, -1]$. (0.75 puntos)

b)

Comprueba que existe un valor $\alpha \in (-2, -1)$ tal que $f'(\alpha) = e$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso. (1.75 puntos)

Encuentra los dos puntos en que se cortan las gráficas de estas dos funciones:

$$f(x) = 2 - |x| \quad \text{y} \quad g(x) = x^2 - 10$$

$x =$

$,\; y =$

$x =$

$,\; y =$

Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.