Examen de Matemáticas II PAU Navarra 2023 · Ordinaria

P1) Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible:

$$\begin{cases} x - y - z = 0 \\ 2x + (2a - 1)y + (\sqrt{2} - 2)z = 2 \\ -ax + ay + 2a^2 z = \sqrt{2} \end{cases}$$

Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Desarrolla la discusión según los valores del parámetro $a$, citando el teorema correspondiente, y resuelve el sistema en cada uno de los casos en que sea compatible.

P2) Calcula los valores de $t$ para los que el rango de la matriz $A \cdot B$ es máximo, siendo

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & t-1 \\ 1 & t & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} t+1 & 1 & t \\ 0 & t & -2t+1 \\ t+1 & t+1 & -t-1 \end{pmatrix}$$

P3) Calcula la ecuación continua de la recta perpendicular a $r$ y $s$ que corta a ambas, siendo

$$r \equiv \begin{cases} x - y - z + 2 = 0 \\ x - 3y + 3z - 8 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 5}{-4} = \frac{z - 0}{-2}$$

Sean $P(1, 5, -1)$ y la recta $r \equiv \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-2}{1} = \dfrac{z+4}{2}$.

a)

Calcula el punto $Q \in r$ tal que la distancia de $P$ a $Q$ sea mínima.

[1,25 puntos]

b)

Halla los puntos $Q_1$ y $Q_2$ pertenecientes a $r$ tales que $d(P, Q_1) = d(P, Q_2) = 3\sqrt{2}$.

[1,25 puntos]

P5

Calcula las siguientes integrales indefinidas:

a)

$$\int \frac{2x - 5}{x^2 + x - 2}\,dx$$ [1,25 puntos]

b)

$$\int x \ln x\,dx$$ [1,25 puntos]

Estudia la continuidad en $\mathbb{R}$ de la siguiente función:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{\cos^2(\pi x) - 1}{1 - x} & x < 1 \\ \ln(x \cdot e^{x+1}) - 2x & x \ge 1 \end{cases}$$

Se considera la función $f(x) = (x + 1)\sin(\pi x)$.

a)

Demuestra que es continua en $\mathbb{R}$. (0,5 puntos)

b)

Comprueba que existe un valor $\alpha \in (0, 1)$ tal que $f(\alpha) = \frac{3}{4}$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso. (2 puntos)

P8) Encuentra los dos puntos en los que se cortan las gráficas de estas dos funciones:

$$f(x) = 2 - 2x^2 \quad \text{y} \quad g(x) = x^4 - x^2$$

Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas. (2,5 puntos)

a)

Abscisas de los puntos de corte (de menor a mayor):

b)

(unidades cuadradas, en fracción o decimal)