Examen de Matemáticas II PAU Navarra 2024 · Ordinaria

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible:

$$\begin{cases} (2 - a)x - ay + 2z = -4 \\ (a - 2)x + (a + 1)y = 5 \\ y + (a^2 - a)z = 3 - a \end{cases}$$

Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso. (2,5 puntos)

Halla el rango de la matriz $M$ según el valor de $m$, siendo:

$$M = \begin{pmatrix} m - 1 & 3 & 0 \\ -1 & m & 1 \\ m & -1 & -1 \\ -2 & m + 1 & 2 \end{pmatrix}$$

(2,5 puntos)

Los puntos $A(4, -2, -3)$, $B(2, -1, 1)$ y $C(0, -3, -1)$ son vértices de un rombo.

a)

Encuentra el cuarto vértice del rombo. (1,75 puntos)

$D($

$,$

$,$

$)$

b)

Calcula el área del rombo. (0,75 puntos)

$\text{u}^2$

Queremos construir un tetraedro de volumen $3\text{ u}^3$, siendo tres de los vértices los puntos de corte del plano $\pi \equiv 2x - y - 2z - 2 = 0$ con los ejes de coordenadas.

a)

¿A qué distancia de $\pi$ tiene que estar el cuarto vértice del tetraedro? (1,5 puntos)

$\text{u}$

b)

Encuentra dos puntos que sirvan como cuarto vértice de tetraedros con la base dada y el volumen señalado. (1 punto)

$P_1($

$,$

$,$

$)$

$P_2($

$,$

$,$

$)$

P5) Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

a)

$$f(x) = \left(\frac{1}{x}\right)^{\cos x}$$

[1,25 puntos]

b)

$$g(x) = \frac{x^2 + 4x + 1}{(x + 2)^2}$$

[1,25 puntos]

P6) Halla los máximos y mínimos (relativos y absolutos), los puntos de inflexión y las asíntotas de la función $f(x) = e^{-x^2}$. Representa, de manera aproximada, la gráfica de $f$.

[2,5 puntos]

1.

Punto:

Máximo absoluto y relativo

Mínimo

2.

3.

4.

Representación gráfica aproximada de $f(x)$ en papel:

P7) Se considera la función $f(x) = x^2 + e^{\frac{x}{4}}$.

a)

Demuestra que la función es continua en el intervalo $[-2, 4]$.

[1,25 puntos]

b)

Comprueba que existen dos valores reales $\alpha$ y $\beta$ en $(-2, 4)$ tales que $f(\alpha) = 2 = f(\beta)$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.

[1,25 puntos]

P8) Calcula los puntos del plano en los que se cortan las gráficas de estas dos funciones:

$$f(x) = \frac{9}{x} \quad \text{y} \quad g(x) = 10x - x^3$$

Tomando los dos puntos de corte con $x > 0$, calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas en el semiplano de abscisa positiva.

[2,5 puntos]

a)

Puntos del plano donde se cortan las gráficas (los 4 puntos $(x, y)$):

b)