Examen de Matemáticas II PAU Navarra 2021 · Ordinaria

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible:

$$\begin{cases} (a - 1)x - y = 3 \\ (a - 1)x + (a + 1)y - (2 - a)z = -2a \\ (-2a + 2)x - ay + (a^2 - a - 2)z = 3a - 1 \end{cases}$$

Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Calcula los valores del parámetro $t$ para que se cumpla la condición $|A^3| = 8$, siendo $A$ la siguiente matriz:

$$A = \begin{pmatrix} t-1 & t+1 & 3 \\ t^2-t & t^2+2t & t \\ 1-t & -1-t & -2 \end{pmatrix}$$

$t_1 =$

$t_2 =$

Encuentra la ecuación general del plano $\pi$ que es paralelo a las rectas

$$r \equiv \begin{cases} x + 2y + z + 3 = 0 \\ x + 6y - z - 7 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x - 3}{3} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z + 2}{1}$$

y equidista de ambas.

Un lado de un paralelogramo está sobre la recta $r \equiv \frac{x-1}{-2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-1}{2}$. Otro lado lo determinan los puntos $A(-1, -2, 3)$ y $B(2, -2, -1)$. Calcula los otros dos vértices del paralelogramo sabiendo que su perímetro mide $16\text{ u}$.

$x =$

$y =$

$z =$

$x =$

$y =$

$z =$

Sea la función $f(x) = (x^2 - 3x + 10)^{\log\left[2^{x-1} \cdot \sin\frac{\pi(x+2)}{6}\right]}$.

a)

Demuestra que la función es continua en el intervalo $[1,3]$.

[1,25 puntos]

b)

Demuestra que existe $\alpha \in (1,3)$ tal que $f(\alpha) = \frac{3}{2}$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.

[1,25 puntos]

Calcula las asíntotas de esta función y estudia la posición de la curva respecto a ellas:

$$f(x) = \frac{x^3 - 4x - 1}{x^2 - 4}$$

[2,5 puntos]

$x =$

$x =$

$y =$

Sea la función $$f(x) = \ln\left(\frac{5x - 2 - x\sin\frac{\pi x}{2}}{x^2 - 4x + 6}\right)$$

a)

Demuestra que la función es continua en el intervalo $[1,3]$.

[1 punto]

b)

Demuestra que existe $\alpha \in (1,3)$ tal que $f'(\alpha) = 3/2 \ln 2$. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.

[1,5 puntos]

Calcula los valores de las abscisas $a$ y $b$ que aparecen en el gráfico, y, después, comprueba que las áreas de las dos regiones sombreadas son iguales:

[2,5 puntos]

$a =$

$b =$