Ejercicio P1 · Matemáticas II PAU Navarra Ordinaria 2022

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real a y resuélvelo en los casos en que sea compatible. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Solución: Teorema de Rouché-Fröbenius. $\det(A)=2(a-2)(a-1)(a+1)$. Si $a\neq 1$, $a\neq 2$ y $a\neq -1$: Sistema Compatible Determinado con solución única $x=-\dfrac{a^2-a+1}{a^2-1}$, $y=-\dfrac{a^2+a-1}{(a+1)(a-2)}$, $z=-\dfrac{1}{a^2-1}$. Si $a=-1$: Sistema Compatible Indeterminado ($\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=2$) con soluciones $(x,y,z)=\left(3\lambda,\,-\dfrac{1+2\lambda}{3},\,\lambda\right)$, $\lambda\in\mathbb{R}$. Si $a=1$: Sistema Incompatible ($\operatorname{rg}A=2$, $\operatorname{rg}A^*=3$). Si $a=2$: Sistema Incompatible ($\operatorname{rg}A=2$, $\operatorname{rg}A^*=3$).