Ejercicio P2 · Matemáticas II PAU Navarra Extraordinaria 2022

Demuestra que se cumple $|A \cdot B| = 0$ para toda matriz $A$ de dimensión $3 \times 2$, siendo $B$ la siguiente matriz:

Solución: Como $\operatorname{rg}(A) \le 2$ y $\operatorname{rg}(B) \le 2$, el rango del producto satisface $\operatorname{rg}(A \cdot B) \le \min(\operatorname{rg}(A), \operatorname{rg}(B)) \le 2$. Al ser $A \cdot B$ de dimensión $3 \times 3$, no tiene rango pleno y por tanto $|A \cdot B| = 0$.