Examen de Matemáticas II PAU Murcia 2021 · Extraordinaria

1: Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $a$:$$\begin{cases} x + ay - z = 0 \\ 2x + y + az = 0 \\ x + 5y - az = a + 1 \end{cases}$$

a)

[0,75 p.] Determine para qué valores de $a$ el sistema tiene solución única.

$a \neq$ y $a \neq$

b)

[1 p.] Determine para qué valor de $a$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.

$a =$

$x =$

$y =$

$z =$

c)

[0,75 p.] Determine para qué valor de $a$ el sistema no tiene solución.

$a =$

2: Considere la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & a \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$.

a)

[1 p.] Si se denota por $\operatorname{tr}(A)$ la traza de la matriz $A$ (es decir, la suma de los elementos de su diagonal principal) y por $|A|$ el determinante de $A$, compruebe que, para cualquier valor de $a$, se cumple la ecuación $A^2 = \operatorname{tr}(A)A - |A|I$, donde $I$ denota la matriz identidad de orden 2.

$c_{11} =$

$c_{21} =$

$c_{12} =$

$c_{22} =$

b)

[0,5 p.] Determine para qué valores de $a$ la matriz $A$ es regular (o inversible).

c)

[1 p.] Para $a = -3$, resuelva la ecuación matricial $AX - A^t = A$, donde $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$.

$x_{11} =$

$x_{21} =$

$x_{12} =$

$x_{22} =$

3: Dada la función $f(x) = x^2 e^{-x}$ definida para todo valor de $x \in \mathbb{R}$, se pide:

a)

[1,5 p.] Calcule sus extremos relativos (máximos y mínimos) y determine sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b)

[1 p.] Calcule $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ y $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

4:

a)

[1,5 p.] Calcule la integral indefinida $\int x \operatorname{sen}(x^2)\,dx$ utilizando el método de cambio de variable (o método de sustitución).

b)

[1 p.] Determine el menor valor de $a > 0$ para el cual se cumple $\int_{0}^{a} x \operatorname{sen}(x^2)\,dx = 1$.

Considere las rectas de ecuaciones:

$$r: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{-1} \quad \text{y} \quad s: \begin{cases} x - 2y = -1 \\ y + z = 1 \end{cases}$$

a)

[0,75 p.] Compruebe que las rectas se cortan en un punto y calcule su punto de corte.

$($ $,$ $,$ $)$

c)

[0,75 p.] Calcule la ecuación del plano que contiene a las dos rectas.

Considere las rectas de ecuaciones:

$$r: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{-1} \quad \text{y} \quad s: \begin{cases} x - 2y = -1 \\ y + z = 1 \end{cases}$$

b)

[1 p.] Determine el ángulo que forman las dos rectas.

Los puntos $A = (2,0,0)$ y $B = (-1,12,4)$ son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice $C$ se encuentra en la recta $r$ dada por:$$r: \begin{cases} 4x + 3z = 33 \\ y = 0 \end{cases}$$

a)

[1,5 p.] Calcule las coordenadas del tercer vértice $C$ sabiendo que la recta $r$ es perpendicular a la recta que pasa por $A$ y $C$.

$($ $,$ $,$ $)$

b)

[1 p.] Determine si el triángulo $\widehat{ABC}$ tiene un ángulo recto en $A$ y calcule su área.

Sí

No

Una urna contiene cinco bolas negras, numeradas del 1 al 5, y siete bolas blancas, numeradas del 1 al 7. Se saca de la urna una bola al azar. Calcule:

a)

[0,5 p.] La probabilidad de que la bola sea blanca.

b)

[0,5 p.] La probabilidad de que la bola esté numerada con un número par.

c)

[0,5 p.] La probabilidad de que la bola esté numerada con un número par, sabiendo que es una bola blanca.

d)

[0,5 p.] La probabilidad de que la bola sea blanca y esté numerada con un número par.

e)

[0,5 p.] La probabilidad de que la bola sea blanca, sabiendo que está numerada con un número par.

8: Juan es un estudiante bastante despistado y su tutora está cansada de que llegue tarde a clase. Él se defiende diciendo que no es para tanto y que la tutora le tiene manía. Ella le propone el siguiente trato: si en los próximos 9 días Juan llega tarde de como mucho 2 días, la tutora le sube 1 punto en la nota final de la evaluación. Sabiendo que la probabilidad de que Juan llegue tarde a clase cada día es $0{,}45$, determine:

a)

El tipo de distribución que sigue la variable aleatoria que cuenta el número de días que Juan llega tarde a clase en los próximos 9 días. ¿Cuáles son sus parámetros?

b)

¿Cuál es la media de esta distribución?

c)

¿Cuál es la desviación típica de esta distribución?

d)

¿Cuál es la probabilidad de que Juan consiga la ansiada subida de 1 punto en la nota final?