Problema 2 · Matemáticas II PAU Murcia Extraordinaria 2021

2: Considere la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & a \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$.

a)

[1 p.] Si se denota por $\operatorname{tr}(A)$ la traza de la matriz $A$ (es decir, la suma de los elementos de su diagonal principal) y por $|A|$ el determinante de $A$, compruebe que, para cualquier valor de $a$, se cumple la ecuación $A^2 = \operatorname{tr}(A)A - |A|I$, donde $I$ denota la matriz identidad de orden 2.

$c_{11} =$

$c_{21} =$

$c_{12} =$

$c_{22} =$

b)

[0,5 p.] Determine para qué valores de $a$ la matriz $A$ es regular (o inversible).

c)

[1 p.] Para $a = -3$, resuelva la ecuación matricial $AX - A^t = A$, donde $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$.

$x_{11} =$

$x_{21} =$

$x_{12} =$

$x_{22} =$