Examen de Matemáticas II PAU Murcia 2026 · Extraordinaria

PREGUNTA 1: Una empresa produce pequeñas cajas con piezas de fruta. Hay tres tipos de cajas, $A$, $B$ y $C$. En las cajas de tipo $A$ hay 1 manzana, 1 pera y 1 naranja. En las cajas de tipo $B$ hay 2 manzanas, 1 pera y 1 naranja. En las cajas de tipo $C$ hay 1 manzana, 2 peras y 1 naranja. Un día prepararon $x$ cajas de tipo $A$, $y$ cajas de tipo $B$ y $z$ cajas de tipo $C$, y en total se usaron 400 manzanas, 500 peras y $k$ naranjas.

a)

[1 pto.] Plantee un sistema de ecuaciones para averiguar cuántas cajas de cada tipo se prepararon.

b)

[1 pto.] Discuta y resuelva, si se puede, el sistema, dando la solución en términos del parámetro $k$.

PREGUNTA 2: Sea $P(x,y)$ un punto del primer cuadrante que está en la gráfica de la función $g(x) = \sqrt{x+1}$.

a)

[0,5 ptos.] Demuestre que la distancia de $P(x,y)$ al punto $A(2,0)$ viene dada por la función $f(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 5}$. Escriba el desarrollo de la fórmula de la distancia:

b)

[1 pto.] Determine el valor de $x$ para que la distancia a $A$ sea mínima.

c)

[0,5 ptos.] Calcule esa distancia mínima.

PREGUNTA 3: [2 ptos.] Determine la ecuación del plano que contiene al punto $P(-2,2,-2)$ y a la recta $r$ dada como intersección de dos planos:

$$r: \begin{cases} 2x + y - z = 4 \\ x + y - 2z = 3 \end{cases}$$

$= 0$

PREGUNTA 4.1: [2 ptos.] Justifique que la derivada de la función $f(x) = x\ln(x^2 + 1)$ alcanza el valor $\ln\left(\dfrac{25}{2}\right)$ en algún punto del intervalo $(1,2)$.

Considere la función $f(x) = \frac{1}{2} + \cos(x)$, donde la variable $x$ está expresada en radianes.

a)

[0,5 ptos.] Calcule la integral indefinida $\int f(x)\,dx$.

b)

[1,5 ptos.] Determine el área del recinto del plano limitado por la gráfica de la función $f(x)$ con el eje $X$ y las rectas $x = 0$ y $x = \pi$.

En la urna $U_1$ hay 5 bolas negras y 3 bolas blancas. En la urna $U_2$ hay 6 bolas negras y 2 bolas blancas. Se escoge una urna al azar y se extrae una bola.

a)

[1 pto.] Calcule la probabilidad de que la bola sea blanca.

b)

[1 pto.] Sabiendo que la bola ha salido blanca, calcule la probabilidad de que se haya extraído de la urna $U_1$.

[2 ptos.] La distribución de edades de un cierto conjunto de personas sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. Sabiendo que el 94,52 % tiene menos de 32 años, y un 21,19 % tiene menos de 20 años, calcule su media y su desviación típica.