Examen de Matemáticas II PAU Murcia 2025 · Extraordinaria

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 2y + kz = 2 \\ x + ky + 3z = 0 \end{cases}$$

a)

[1] Discuta el sistema en función del parámetro $k$.

b)

[0,5] Calcule su solución en el caso en el que sea compatible indeterminado.

$x =$

$y =$

$z =$

c)

[1] Calcule su solución (expresada en función de $k$) para cualquier valor de $k$ para el que el sistema sea compatible determinado.

$x =$

$y =$

$z =$

1B) Sea $A$ una matriz cuadrada de orden 3 que cumple que $A^2 = O$, donde $O$ es la matriz nula de orden 3 (todos sus elementos son cero).

a)

[0,75] Demuestre que $(A + I)^2 = 2A + I$, y que $(A + I)^3 = 3A + I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.

b)

[0,75] Demuestre que la matriz $I - A$ es inversa de la matriz $I + A$.

c)

[1] Resuelva la ecuación matricial $X + AX = A$ expresando $X$ en función de $A$.

$X =$

2A) Calcule los siguientes límites:

a)

[1] $\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{\operatorname{sen}(x)} \right)$

b)

[0,5] $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{2x^2 + 1}}{9x^2 + 5}$

c)

[1] $\lim_{x \to +\infty} x(e^{1/x} - 1)$

2B) Considere la función $f(x) = \operatorname{tg}^3(x)$.

a)

[1,5] Calcule la integral indefinida $\int f(x)\,dx$.

b)

[0,75] Calcule el área de la región delimitada por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje OX entre los valores $x = 0$ y $x = \frac{\pi}{4}$.

c)

[0,25] Demuestre, sin aproximar con números decimales, que el área pedida en el apartado anterior es igual a $\frac{1}{2}\ln\left(\frac{e}{2}\right)$.

CUESTIÓN 3A

a)

[1,25] Determine el valor de $a$ y $b$ para que el plano $\pi: 2x + y + az = b$ contenga a la recta

$$r: \begin{cases} x + y + z = 1 \\ -x - 2y + z = 0 \end{cases}$$

b)

[1,25] ¿Para qué valores de $a$ y $b$ corta $r$ a $\pi$? Halle el punto de corte en el caso $a = 0$ y $b = 7$.

$($

$,$

$,$

$)$

Un helicóptero situado en el punto $P(1, 2, 1)$ quiere aterrizar en el plano $\pi: x + y + 3z = 0$.

a)

[1] Calcule la ecuación en forma continua de la recta de la trayectoria que lo lleve al punto más cercano a $\pi$.

b)

[0,75] Halle dicho punto.

(

,

,

)

c)

[0,75] Calcule la distancia que debe recorrer.

En un cine hay tres salas. En la sala $S_1$ hay 240 espectadores, en la sala $S_2$ hay 180 y en la sala $S_3$ hay 80. Se sabe que la película de la sala $S_1$ gusta al 40% de los espectadores, la de la sala $S_2$ al 50% y la de la sala $S_3$ al 90%. Cuando acaban las tres películas se elige a un espectador al azar.

a)

[1 punto] Calcule la probabilidad de que le haya gustado la película.

b)

[0,5 puntos] Calcule la probabilidad de que le haya gustado si ha estado en la sala $S_3$.

c)

[1 punto] Calcule la probabilidad de que haya estado en la sala $S_3$ si le ha gustado.

Un avión tiene capacidad para 260 pasajeros. Sin embargo, la compañía aérea ha vendido para un día 280 billetes. La compañía sabe que el 95 % de los que compran un billete se presenta en el aeropuerto el día correspondiente. Consideramos el número de pasajeros que se presentan el día en el que se vendieron los 280 billetes.

a)

[0,5] Diga qué tipo de distribución de probabilidad es, indicando la media y la desviación típica.

b)

[0,75] Calcule la probabilidad de que falten plazas en el avión.

c)

[0,5] Calcule la probabilidad de que no falten plazas en el avión.

d)

[0,75] Calcule la probabilidad de que ni sobren ni falten plazas en el avión.