Examen de Matemáticas II PAU Madrid 2026 · Extraordinaria Coincidencias

Un virus estomacal presenta como síntomas diarreas y fiebres en un 95 % de los infectados. En un momento de presión asistencial en la Comunidad de Madrid, 40 de cada mil habitantes están infectados por dicho virus. Por otro lado, un 0.5 % de la población no infectada por el virus presenta los mismos síntomas por otras causas.

a)

[1 punto] Una persona tiene los síntomas. ¿Cuál es la probabilidad de que esté infectado por el virus estomacal?

b)

[1 punto] Dadas dos personas que tienen los síntomas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas tenga el virus?

La potencia instantánea en el momento $t$, $P(t)$, es la derivada de la energía producida hasta el momento $t$. Una instalación fotovoltaica doméstica en un día despejado genera una potencia en kilowatios (kW) que se modeliza por la siguiente función con respecto a la hora del día $t \in [0, 24)$:

$$P(t) = \begin{cases} 0 & \text{si } 0 \le t < 8 \\ 3 + 3\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{8}(t - 12)\right) & \text{si } 8 \le t \le 20 \\ 0 & \text{si } 20 < t < 24 \end{cases}$$

a)

[1 punto] Determine cuándo esa potencia aumenta y cuándo disminuye. ¿Cuál es el momento del día en que la instalación entrega su potencia máxima? Justifique el procedimiento y responda a las horas correspondientes.

de

a

horas

de

a

horas

horas

b)

[1 punto] Halle la energía producida a lo largo del día en kilowatios hora (kWh).

kWh

Pregunta 3. Sea $S$ el conjunto formado por todas las matrices reales $2 \times 2$ triangulares superiores para las que el elemento que ocupa el lugar $(2,2)$ de la matriz es la suma de los elementos de su primera fila, es decir,

$$S = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a+b \end{pmatrix} \text{ con } a, b \in \mathbb{R} \right\}.$$

a)

(1 punto) Pruebe que si $A$ y $B$ son dos matrices cualesquiera del conjunto $S$, $AB$ está en $S$.

b)

(1 punto) Responda solo a uno de los dos apartados siguientes:

b1)

Determine para qué valores de $a$ y $b$ las matrices de $S$ son invertibles. Pruebe que si una matriz de $S$ tiene inversa, esta es también una matriz de $S$.

b2)

Calcule todas las matrices $A$ de $S$ tales que $A^2 = A$.

Sean la recta $r \equiv (x,y,z) = (1+t, 1+t, 1+t)$, $t \in \mathbb{R}$, y el plano $\pi: x+y+z = 0$.

a)

Determine la posición relativa de la recta $r$ y el plano $\pi$.

b)

Halle los puntos de la recta $r$ que se encuentran a distancia $\sqrt{3}$ del plano $\pi$.

Sea la recta $r \equiv (x, y, z) = (t, 1, t)$, $t \in \mathbb{R}$. Se pide:

a)

Hallar dos planos que se corten en la recta $r$, que formen entre sí un ángulo de $90^\circ$ y uno de ellos pase por el punto $(0, 0, 1)$.

b)

Justificar que todas las rectas contenidas en los dos planos obtenidos en el apartado anterior que no tienen puntos en común con la recta $r$ son necesariamente paralelas entre sí.

Sea la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{3x - a}$, donde $a$ es un parámetro real.

a)

Halle el valor de $a$ para que la gráfica de $f(x)$ presente una asíntota vertical en $x = 2$. Para dicho valor, estudie el resto de asíntotas de la gráfica.

b)

Obtenga los valores de $a$ para los cuales la gráfica de la función no presenta asíntotas verticales.

Para la función $f(x) = \mathrm{sen}(\pi |x^2 - 1|)$, calcule:

$$\int_0^2 x f(x)\, dx$$