Examen de Matemáticas II PAU Madrid 2026 · Ordinaria Coincidencias

La NFL es la principal liga profesional de fútbol americano de los Estados Unidos. En un partido de la NFL se pueden anotar puntos de diversas formas, siendo las más comunes las siguientes: touchdown, field goal y extra point al que solo se puede optar después de anotar un touchdown. Según la normativa de la liga, un touchdown vale 6 puntos, un field goal 3 puntos y un extra point 1 punto.

De uno de los dos equipos de un partido finalizado de la NFL se sabe que solo ha conseguido puntos mediante touchdown, field goal y extra point. Además se sabe que:

Ha anotado 63 puntos.

El doble de field goals anotados coincidió con el número de touchdowns conseguidos.

La suma del número de touchdowns y field goals anotados fue cuatro veces el número de extra points conseguidos.

Halle el número de touchdowns, field goals y extra points anotados por el equipo.

Dada la función real de variable real $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$, se pide:

a)

Hallar dónde se alcanzan los máximos y mínimos relativos de $f(x)$, así como sus correspondientes valores.

$x =$

$f(x) =$

$x =$

Valor común $f(x) =$

b)

Calcular el área del recinto delimitado por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas $x = 3$ y $x = 6$.

Sea $r$ la recta que pasa por $A(1, 2, -5)$ y $B(2, 4, -11)$, sea $s$ la recta dada por la intersección de los planos $x - 2y + 3z = 3$, $x - y = 0$, y sea $t$ la recta paralela a $s$ que pasa por $C(1, 0, 0)$.

a)

Determine la posición relativa de $r$ y $s$.

Sea $s$ la recta dada por la intersección de los planos $x - 2y + 3z = 3$, $x - y = 0$, y sea $t$ la recta paralela a $s$ que pasa por $C(1, 0, 0)$.

b1) Halle la distancia entre $s$ y $t$.

Sea $r$ la recta que pasa por $A(1, 2, -5)$ y $B(2, 4, -11)$, y sea $s$ la recta dada por la intersección de los planos $x - 2y + 3z = 3$, $x - y = 0$.

b2)

Halle el coseno del ángulo que forman $r$ y $s$.

Se consideran los sucesos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio que verifican $P(\overline{A}) = 0{,}6$, $P(A \cup B) = 0{,}75$ y $P(B|A) = 0{,}375$. Se pide:

a)

Calcular $P(B)$.

b)

Calcular $P(\overline{A}|B)$.

En los barrios de Tokio se considera el reciclaje y la clasificación de la basura una obligación ciudadana. Si no se clasifican los residuos de forma correcta para que sean retirados por la empresa de recogida de basuras, estos no son recogidos y el barrio puede ser penalizado por el ayuntamiento. En el barrio de Ueno, el $82.5\,\%$ de los hogares realizan esta tarea de forma adecuada.

a)

Se analizan los residuos de diez hogares de este barrio. Calcule la probabilidad de que a lo sumo uno de ellos no clasifique correctamente sus residuos.

b)

El ayuntamiento selecciona una muestra aleatoria de 200 hogares en este barrio y si el porcentaje de familias que comete errores en la clasificación de sus residuos es superior o igual al $10\,\%$, el barrio es penalizado. Calcule, aproximando por una distribución normal adecuada, la probabilidad de que los vecinos de Ueno no sean sancionados.

Ejemplo: si $Z$ tiene distribución $N(0, 1)$, $P(Z < 0.45) = 0.6736$.

Sea la función $f(x) = x^2 + bx$.

a)

Determine los valores de $b$ para que la recta $y = x - 1$ sea tangente a la gráfica de la función $f(x)$. [1 punto]

b)

¿Es cierto que para cualquier valor de $b$ existe una recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ que sea paralela a la recta $y = x - 1$? Justifique la respuesta. [1 punto]

Sí

No

Pregunta 5.2. Calcule los siguientes límites:

a)

(1 punto) $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 3x} - x \right)$

b)

(1 punto) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{\ln(1 + 2x)}$