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Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Madrid 2023 · Extraordinaria Coincidencias

Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II de Selectividad de Madrid (PAU/EvAU) 2023, Extraordinaria Coincidencias (julio): 5 problemas con…

Temas del examen: Álgebra · Programación Lineal · Análisis · Probabilidad · Inferencia Estadística

Ejercicio A.1 · Álgebra

Se consideran las matrices $A$ y $B$ dadas por: $A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Determine la matriz $X$ tal que $A \cdot X = B$ .

Fila 1: (,,)

Fila 2: (,,)

Calcule $B \cdot B^t \cdot A^{-1}$ , donde $B^t$ denota la matriz transpuesta de $B$ y $A^{-1}$ la matriz inversa de $A$ .

Fila 1: (,)

Fila 2: (,)

Ejercicio A.2 · Programación Lineal

Una familia acaba de comprar una parcela y desea construir en ella una piscina rectangular. Tiene que decidir el largo y el ancho de la piscina sabiendo que el largo no puede ser más de 2 veces el ancho, y que 3 veces el ancho no puede sobrepasar a 2 veces el largo. Además, el perímetro debe tener 30 metros como máximo y quieren que la piscina tenga al menos 4 metros de ancho. ¿Qué dimensiones deben elegir si quieren una piscina lo más larga posible?

Ejercicio A.3 · Análisis

Dada la siguiente función real de variable real: $f(x) = \begin{cases} a x^2 e^{x-3} & \text{si } x \le 3 \\[2ex] \dfrac{x^2 - x - 6}{x^2 - 3x} & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Obtenga el valor del parámetro real $a$ para que la función sea continua en $x = 3$ .

Para $a = 1$ , determine los máximos y mínimos relativos de $f(x)$ en el intervalo $(-\infty, 1)$ .

Ejercicio A.4 · Probabilidad

Sean dos sucesos $A$ y $B$ tales que $P(A) = 0{,}57$ , $P(B) = 0{,}46$ y $P(A \cap B) = 0{,}28$ . Calcule las siguientes probabilidades:

$P(A \cup B)$ .

$P(B \mid \bar{A})$ siendo $\bar{A}$ el suceso complementario de $A$ .

Ejercicio A.5 · Inferencia Estadística

ÁREAS BAJO LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR

Los valores en la tabla representan el área bajo la curva normal hasta un valor positivo de $z$ .

z ·,00 ·,01 ·,02 ·,03 ·,04 ·,05 ·,06 ·,07 ·,08 ·,09

0,0 · 0,5000 · 0,5040 · 0,5080 · 0,5120 · 0,5160 · 0,5199 · 0,5239 · 0,5279 · 0,5319 · 0,5359

0,1 · 0,5398 · 0,5438 · 0,5478 · 0,5517 · 0,5557 · 0,5596 · 0,5636 · 0,5675 · 0,5714 · 0,5753

0,2 · 0,5793 · 0,5832 · 0,5871 · 0,5910 · 0,5948 · 0,5987 · 0,6026 · 0,6064 · 0,6103 · 0,6141

0,3 · 0,6179 · 0,6217 · 0,6255 · 0,6293 · 0,6331 · 0,6368 · 0,6406 · 0,6443 · 0,6480 · 0,6517

0,4 · 0,6554 · 0,6591 · 0,6628 · 0,6664 · 0,6700 · 0,6736 · 0,6772 · 0,6808 · 0,6844 · 0,6879

0,5 · 0,6915 · 0,6950 · 0,6985 · 0,7019 · 0,7054 · 0,7088 · 0,7123 · 0,7157 · 0,7190 · 0,7224

0,6 · 0,7257 · 0,7291 · 0,7324 · 0,7357 · 0,7389 · 0,7422 · 0,7454 · 0,7486 · 0,7517 · 0,7549

0,7 · 0,7580 · 0,7611 · 0,7642 · 0,7673 · 0,7703 · 0,7734 · 0,7764 · 0,7794 · 0,7823 · 0,7852

0,8 · 0,7881 · 0,7910 · 0,7939 · 0,7967 · 0,7995 · 0,8023 · 0,8051 · 0,8078 · 0,8106 · 0,8133

0,9 · 0,8159 · 0,8186 · 0,8212 · 0,8238 · 0,8264 · 0,8289 · 0,8315 · 0,8340 · 0,8365 · 0,8389

1,0 · 0,8413 · 0,8438 · 0,8461 · 0,8485 · 0,8508 · 0,8531 · 0,8554 · 0,8577 · 0,8599 · 0,8621

1,1 · 0,8643 · 0,8665 · 0,8686 · 0,8708 · 0,8729 · 0,8749 · 0,8770 · 0,8790 · 0,8810 · 0,8830

1,2 · 0,8849 · 0,8869 · 0,8888 · 0,8907 · 0,8925 · 0,8944 · 0,8962 · 0,8980 · 0,8997 · 0,9015

1,3 · 0,9032 · 0,9049 · 0,9066 · 0,9082 · 0,9099 · 0,9115 · 0,9131 · 0,9147 · 0,9162 · 0,9177

1,4 · 0,9192 · 0,9207 · 0,9222 · 0,9236 · 0,9251 · 0,9265 · 0,9279 · 0,9292 · 0,9306 · 0,9319

1,5 · 0,9332 · 0,9345 · 0,9357 · 0,9370 · 0,9382 · 0,9394 · 0,9406 · 0,9418 · 0,9429 · 0,9441

1,6 · 0,9452 · 0,9463 · 0,9474 · 0,9484 · 0,9495 · 0,9505 · 0,9515 · 0,9525 · 0,9535 · 0,9545

1,7 · 0,9554 · 0,9564 · 0,9573 · 0,9582 · 0,9591 · 0,9599 · 0,9608 · 0,9616 · 0,9625 · 0,9633

1,8 · 0,9641 · 0,9649 · 0,9656 · 0,9664 · 0,9671 · 0,9678 · 0,9686 · 0,9693 · 0,9699 · 0,9706

1,9 · 0,9713 · 0,9719 · 0,9726 · 0,9732 · 0,9738 · 0,9744 · 0,9750 · 0,9756 · 0,9761 · 0,9767

2,0 · 0,9772 · 0,9778 · 0,9783 · 0,9788 · 0,9793 · 0,9798 · 0,9803 · 0,9808 · 0,9812 · 0,9817

2,1 · 0,9821 · 0,9826 · 0,9830 · 0,9834 · 0,9838 · 0,9842 · 0,9846 · 0,9850 · 0,9854 · 0,9857

2,2 · 0,9861 · 0,9864 · 0,9868 · 0,9871 · 0,9875 · 0,9878 · 0,9881 · 0,9884 · 0,9887 · 0,9890

2,3 · 0,9893 · 0,9896 · 0,9898 · 0,9901 · 0,9904 · 0,9906 · 0,9909 · 0,9911 · 0,9913 · 0,9916

2,4 · 0,9918 · 0,9920 · 0,9922 · 0,9925 · 0,9927 · 0,9929 · 0,9931 · 0,9932 · 0,9934 · 0,9936

2,5 · 0,9938 · 0,9940 · 0,9941 · 0,9943 · 0,9945 · 0,9946 · 0,9948 · 0,9949 · 0,9951 · 0,9952

2,6 · 0,9953 · 0,9954 · 0,9956 · 0,9957 · 0,9959 · 0,9960 · 0,9961 · 0,9962 · 0,9963 · 0,9964

2,7 · 0,9965 · 0,9966 · 0,9967 · 0,9968 · 0,9969 · 0,9970 · 0,9971 · 0,9972 · 0,9973 · 0,9974

2,8 · 0,9974 · 0,9975 · 0,9976 · 0,9977 · 0,9977 · 0,9978 · 0,9979 · 0,9979 · 0,9980 · 0,9981

2,9 · 0,9981 · 0,9982 · 0,9982 · 0,9983 · 0,9984 · 0,9984 · 0,9985 · 0,9985 · 0,9986 · 0,9986

3,0 · 0,9987 · 0,9987 · 0,9987 · 0,9988 · 0,9988 · 0,9989 · 0,9989 · 0,9989 · 0,9990 · 0,9990

La longitud en metros de un coche se puede aproximar por una variable aleatoria normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma = 0{,}2$ metros.

Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de $\mu$ sea menor de 4 centímetros con un nivel de confianza del 95 %.

Suponga que $\mu = 4$ metros. Calcule la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de tamaño $n = 36$ coches, la longitud media, $\overline{X}$ , sea mayor de 4,04 metros.

Ejercicio B.1 · Álgebra

B.1. (2 puntos) Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$ : $\left\{\begin{aligned} 2ax + y + 2z &= 2 \\ x - az &= 0 \\ 3x - y - z &= 2a \end{aligned}\right.$

Discuta el sistema para los diferentes valores de $a$ .

Resuelva el sistema de ecuaciones para $a = 1$ .

Ejercicio B.2 · Análisis

B.2. (2 puntos) Se considera la siguiente función real de variable real dependiente de un parámetro real $a$ : ${f(x) = -x^3 + 4ax^2 - 17x + 5a}$

Calcule el valor de $a$ para que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 1$ sea la misma que la pendiente de la recta $g(x) = \sqrt{3} - 4x$ .

Para $a = 0$ , obtenga el área de la región acotada del plano delimitada por la gráfica de la función $f(x)$ , el eje de abscisas y las rectas $x = 0$ y $x = 2$ .

Ejercicio B.3 · Análisis

B.3. (2 puntos) Se considera la siguiente función real de variable real: ${f(x) = \frac{x^2 + 4x + 3}{x}}$

Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Determine las asíntotas de la función.

Ejercicio B.4 · Probabilidad

B.4. (2 puntos) Un restaurante de comida rápida sirve el $40\%$ de los menús para consumir en el local, el $35\%$ es transportado por motoristas a domicilio ( delivery) y el resto de menús son recogidos por los clientes en el local ( take-away). El restaurante tiene un menú vegetariano que es consumido por el $8\%$ de los clientes en el local, el $5\%$ de los pedidos a domicilio y el $12\%$ de los recogidos en el local por los propios clientes. Eligiendo un menú al azar, calcule la probabilidad de que:

Sea vegetariano.

Haya sido llevado a domicilio por un motorista, sabiendo que es vegetariano.

Ejercicio B.5 · Inferencia Estadística