Todos los exámenes de Selectividad 2021 de todas las comunidades

Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Madrid 2021 · Extraordinaria Coincidencias

Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II de Selectividad de Madrid (PAU/EvAU) 2021, Extraordinaria Coincidencias (julio): 5 problemas con…

Temas del examen: Álgebra · Programación Lineal · Análisis · Probabilidad · Inferencia Estadística

Ejercicio A. 1. · Programación Lineal

Considere la región del plano $S$ definida por:

$y \le 5, \quad 2x + 3y \le 25, \quad 3x + 2y \ge 10, \quad 6y - x \ge 10$

Represente la región $S$ y calcule las coordenadas de sus vértices.

Obtenga el valor máximo de la función $f(x, y) = x + 3y$ en la región $S$ , indicando el punto en el cual se alcanza dicho valor.

Ejercicio A. 2. · Análisis

Considere la función real de variable real:

$f(x) = 3x^3 - ax + 1$

Determine el valor del parámetro real $a$ para que el punto de abscisa $x = 1$ de la función $f(x)$ sea un punto de tangente horizontal. Determine si es un máximo, mínimo o punto de inflexión.

Determine el valor del parámetro real $a$ para que se cumpla que $\int_0^1 f(x)\,dx = 1$ .

Ejercicio A. 3. · Álgebra

Considere la matriz:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 2 & 0 \\ -3 & 2 & 3a \end{pmatrix}$

Calcule los valores del parámetro real $a$ para que $A$ sea invertible.

Para $a = 1$ , calcule $A^{-1}$ .

Ejercicio A. 4. · Probabilidad

En un bar, a la hora del aperitivo, el $60\,\%$ de los clientes tienen más de 40 años. Los mayores de 40 años, en un $70\,\%$ prefieren tomar cerveza sin alcohol, mientras que en el resto solo un $25\,\%$ toman cerveza sin alcohol. Calcule la probabilidad de que un cliente al azar:

Tome cerveza sin alcohol.

Tenga 40 años o menos, dado que toma cerveza sin alcohol.

Ejercicio A. 5. · Inferencia Estadística

ÁREAS BAJO LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR

Los valores en la tabla representan el área bajo la curva normal hasta un valor positivo de $z$ .

$z$ ·,00 ·,01 ·,02 ·,03 ·,04 ·,05 ·,06 ·,07 ·,08 ·,09

0,0 · 0,5000 · 0,5040 · 0,5080 · 0,5120 · 0,5160 · 0,5199 · 0,5239 · 0,5279 · 0,5319 · 0,5359

0,1 · 0,5398 · 0,5438 · 0,5478 · 0,5517 · 0,5557 · 0,5596 · 0,5636 · 0,5675 · 0,5714 · 0,5753

0,2 · 0,5793 · 0,5832 · 0,5871 · 0,5910 · 0,5948 · 0,5987 · 0,6026 · 0,6064 · 0,6103 · 0,6141

0,3 · 0,6179 · 0,6217 · 0,6255 · 0,6293 · 0,6331 · 0,6368 · 0,6406 · 0,6443 · 0,6480 · 0,6517

0,4 · 0,6554 · 0,6591 · 0,6628 · 0,6664 · 0,6700 · 0,6736 · 0,6772 · 0,6808 · 0,6844 · 0,6879

0,5 · 0,6915 · 0,6950 · 0,6985 · 0,7019 · 0,7054 · 0,7088 · 0,7123 · 0,7157 · 0,7190 · 0,7224

0,6 · 0,7257 · 0,7291 · 0,7324 · 0,7357 · 0,7389 · 0,7422 · 0,7454 · 0,7486 · 0,7517 · 0,7549

0,7 · 0,7580 · 0,7611 · 0,7642 · 0,7673 · 0,7703 · 0,7734 · 0,7764 · 0,7794 · 0,7823 · 0,7852

0,8 · 0,7881 · 0,7910 · 0,7939 · 0,7967 · 0,7995 · 0,8023 · 0,8051 · 0,8078 · 0,8106 · 0,8133

0,9 · 0,8159 · 0,8186 · 0,8212 · 0,8238 · 0,8264 · 0,8289 · 0,8315 · 0,8340 · 0,8365 · 0,8389

1,0 · 0,8413 · 0,8438 · 0,8461 · 0,8485 · 0,8508 · 0,8531 · 0,8554 · 0,8577 · 0,8599 · 0,8621

1,1 · 0,8643 · 0,8665 · 0,8686 · 0,8708 · 0,8729 · 0,8749 · 0,8770 · 0,8790 · 0,8810 · 0,8830

1,2 · 0,8849 · 0,8869 · 0,8888 · 0,8907 · 0,8925 · 0,8944 · 0,8962 · 0,8980 · 0,8997 · 0,9015

1,3 · 0,9032 · 0,9049 · 0,9066 · 0,9082 · 0,9099 · 0,9115 · 0,9131 · 0,9147 · 0,9162 · 0,9177

1,4 · 0,9192 · 0,9207 · 0,9222 · 0,9236 · 0,9251 · 0,9265 · 0,9279 · 0,9292 · 0,9306 · 0,9319

1,5 · 0,9332 · 0,9345 · 0,9357 · 0,9370 · 0,9382 · 0,9394 · 0,9406 · 0,9418 · 0,9429 · 0,9441

1,6 · 0,9452 · 0,9463 · 0,9474 · 0,9484 · 0,9495 · 0,9505 · 0,9515 · 0,9525 · 0,9535 · 0,9545

1,7 · 0,9554 · 0,9564 · 0,9573 · 0,9582 · 0,9591 · 0,9599 · 0,9608 · 0,9616 · 0,9625 · 0,9633

1,8 · 0,9641 · 0,9649 · 0,9656 · 0,9664 · 0,9671 · 0,9678 · 0,9686 · 0,9693 · 0,9699 · 0,9706

1,9 · 0,9713 · 0,9719 · 0,9726 · 0,9732 · 0,9738 · 0,9744 · 0,9750 · 0,9756 · 0,9761 · 0,9767

2,0 · 0,9772 · 0,9778 · 0,9783 · 0,9788 · 0,9793 · 0,9798 · 0,9803 · 0,9808 · 0,9812 · 0,9817

2,1 · 0,9821 · 0,9826 · 0,9830 · 0,9834 · 0,9838 · 0,9842 · 0,9846 · 0,9850 · 0,9854 · 0,9857

2,2 · 0,9861 · 0,9864 · 0,9868 · 0,9871 · 0,9875 · 0,9878 · 0,9881 · 0,9884 · 0,9887 · 0,9890

2,3 · 0,9893 · 0,9896 · 0,9898 · 0,9901 · 0,9904 · 0,9906 · 0,9909 · 0,9911 · 0,9913 · 0,9916

2,4 · 0,9918 · 0,9920 · 0,9922 · 0,9925 · 0,9927 · 0,9929 · 0,9931 · 0,9932 · 0,9934 · 0,9936

2,5 · 0,9938 · 0,9940 · 0,9941 · 0,9943 · 0,9945 · 0,9946 · 0,9948 · 0,9949 · 0,9951 · 0,9952

2,6 · 0,9953 · 0,9954 · 0,9956 · 0,9957 · 0,9959 · 0,9960 · 0,9961 · 0,9962 · 0,9963 · 0,9964

2,7 · 0,9965 · 0,9966 · 0,9967 · 0,9968 · 0,9969 · 0,9970 · 0,9971 · 0,9972 · 0,9973 · 0,9974

2,8 · 0,9974 · 0,9975 · 0,9976 · 0,9977 · 0,9977 · 0,9978 · 0,9979 · 0,9979 · 0,9980 · 0,9981

2,9 · 0,9981 · 0,9982 · 0,9982 · 0,9983 · 0,9984 · 0,9984 · 0,9985 · 0,9985 · 0,9986 · 0,9986

3,0 · 0,9987 · 0,9987 · 0,9987 · 0,9988 · 0,9988 · 0,9989 · 0,9989 · 0,9989 · 0,9990 · 0,9990

En el envasado de un determinado producto, medido en gramos (g), se establece que la cantidad de producto se puede aproximar por una distribución normal con media $\mu$ y desviación $\sigma = 6\text{ g}$ .

Se observa que el contenido en los envases del producto, en una muestra de tamaño $n = 36$ , tiene una media de $500\text{ g}$ . Calcule un intervalo de confianza al $95\,\%$ para la media $\mu$ .

( $\,$ $\,,\,$ $\,$ )

Determine el tamaño de la muestra necesario para que un intervalo al $95\,\%$ tenga un error menor que $1{,}5\text{ g}$ .

Ejercicio B. 1. · Álgebra

B. 1. Considere el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$ :

$\left\{\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 9 \\ x + y - az & = & 0 \\ y + az & = & 3 \end{array}\right.$

Discuta el sistema para los diferentes valores de $a$ .

Resuelva el sistema para $a = -2$ .

Ejercicio B. 2. · Análisis

Se considera la función real de variable real $f(x) = \frac{9 - x^2}{4 - x^2}$

Halle el dominio de la función y sus asíntotas.

Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Ejercicio B. 3. · Análisis

B. 3. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera la función real de variable real: $f(x) = \sqrt{x^2 - 9}$

Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 5$ .

Calcule $\displaystyle \int_3^5 9x\sqrt{x^2 - 9}\,dx$

Ejercicio B. 4. · Probabilidad

B. 4. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se consideran los sucesos $A$ y $B$ tales que $P(A) = 0{,}8$ , $P(B) = 0{,}4$ y $P(A \cap B) = 0{,}3$ .

¿Son independientes? Justifique su respuesta.

Sí

Calcule $P(\overline{B}|A)$ .

Ejercicio B. 5. · Inferencia Estadística

B. 5. (Calificación máxima: 2 puntos)

El número de pasajeros en un día laborable en el metro de Madrid, medido en millones de individuos, se puede aproximar por una distribución normal con media $\mu$ y desviación $\sigma = 0,1$ millones.