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Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Madrid 2022 · Extraordinaria Coincidencias

Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II de Selectividad de Madrid (PAU/EvAU) 2022, Extraordinaria Coincidencias (julio): 5 problemas con…

Temas del examen: Álgebra · Programación Lineal · Análisis · Probabilidad · Inferencia Estadística

Ejercicio A.1 · Álgebra

A.1. (2 puntos)

Sea $a \in \mathbb{R}$ . Considere las matrices $A = \begin{pmatrix} -a & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \\ a & a & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

Determine los valores de $a$ para que $A$ tenga inversa.

Calcule los valores de $a$ para que la solución del sistema $(A - B)X = Y$ sea $X = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}.$

$a =$

Ejercicio A.2 · Programación Lineal

A.2. (2 puntos)

La plataforma digital Plusfix va a lanzar un nuevo canal de cine y deporte y tiene que elaborar una propuesta piloto de contenidos, teniendo en cuenta que el tiempo dedicado al cine no puede ser mayor que el tiempo dedicado al deporte. La propuesta piloto debe tener una duración entre 600 y 900 minutos, debe tener al menos 200 minutos de cine y como mucho 500 minutos de deporte. Además, con la emisión de la propuesta la plataforma obtiene 15€ de beneficio por cada minuto de emisión de cine y 10€ de beneficio por cada minuto de emisión de deporte. Determine cuántos minutos de cine y cuántos de deporte debe tener la propuesta para obtener el máximo beneficio y obtenga el beneficio que obtiene la plataforma con dicha propuesta.

minutos

€

Ejercicio A.3 · Análisis

A.3. (2 puntos)

Halle $\int_0^1 \frac{x}{2x^2 + 5}\,dx.$

Considere $f(x) = \frac{x}{2x^2 + 5} \quad \text{y} \quad g(x) = \ln(x).$ Halle la derivada de la función compuesta $f \circ g(x)$ .

$(f \circ g)'(x) =$

Ejercicio A.4 · Probabilidad

A.4. (2 puntos)

Sean $A$ y $B$ dos sucesos asociados a un mismo experimento aleatorio. Suponga que $P(A) = 0{,}7$ , $P(B^c) = 0{,}7$ y $P(A \cap B) = 0{,}2$ .

¿Son $A$ y $B$ independientes? Justifique su respuesta.

Sí

$P(A)P(B) =$

Calcule $P(A^c \cap B^c)$ .

Nota: $A^c$ y $B^c$ son, respectivamente, los sucesos complementarios de $A$ y $B$ .

$P(A^c \cap B^c) =$

Ejercicio A.5 · Inferencia Estadística

ÁREAS BAJO LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR

Los valores en la tabla representan el área bajo la curva normal hasta un valor positivo de $z$ .

$z$ ·,00 ·,01 ·,02 ·,03 ·,04 ·,05 ·,06 ·,07 ·,08 ·,09

0,0 · 0,5000 · 0,5040 · 0,5080 · 0,5120 · 0,5160 · 0,5199 · 0,5239 · 0,5279 · 0,5319 · 0,5359

0,1 · 0,5398 · 0,5438 · 0,5478 · 0,5517 · 0,5557 · 0,5596 · 0,5636 · 0,5675 · 0,5714 · 0,5753

0,2 · 0,5793 · 0,5832 · 0,5871 · 0,5910 · 0,5948 · 0,5987 · 0,6026 · 0,6064 · 0,6103 · 0,6141

0,3 · 0,6179 · 0,6217 · 0,6255 · 0,6293 · 0,6331 · 0,6368 · 0,6406 · 0,6443 · 0,6480 · 0,6517

0,4 · 0,6554 · 0,6591 · 0,6628 · 0,6664 · 0,6700 · 0,6736 · 0,6772 · 0,6808 · 0,6844 · 0,6879

0,5 · 0,6915 · 0,6950 · 0,6985 · 0,7019 · 0,7054 · 0,7088 · 0,7123 · 0,7157 · 0,7190 · 0,7224

0,6 · 0,7257 · 0,7291 · 0,7324 · 0,7357 · 0,7389 · 0,7422 · 0,7454 · 0,7486 · 0,7517 · 0,7549

0,7 · 0,7580 · 0,7611 · 0,7642 · 0,7673 · 0,7703 · 0,7734 · 0,7764 · 0,7794 · 0,7823 · 0,7852

0,8 · 0,7881 · 0,7910 · 0,7939 · 0,7967 · 0,7995 · 0,8023 · 0,8051 · 0,8078 · 0,8106 · 0,8133

0,9 · 0,8159 · 0,8186 · 0,8212 · 0,8238 · 0,8264 · 0,8289 · 0,8315 · 0,8340 · 0,8365 · 0,8389

1,0 · 0,8413 · 0,8438 · 0,8461 · 0,8485 · 0,8508 · 0,8531 · 0,8554 · 0,8577 · 0,8599 · 0,8621

1,1 · 0,8643 · 0,8665 · 0,8686 · 0,8708 · 0,8729 · 0,8749 · 0,8770 · 0,8790 · 0,8810 · 0,8830

1,2 · 0,8849 · 0,8869 · 0,8888 · 0,8907 · 0,8925 · 0,8944 · 0,8962 · 0,8980 · 0,8997 · 0,9015

1,3 · 0,9032 · 0,9049 · 0,9066 · 0,9082 · 0,9099 · 0,9115 · 0,9131 · 0,9147 · 0,9162 · 0,9177

1,4 · 0,9192 · 0,9207 · 0,9222 · 0,9236 · 0,9251 · 0,9265 · 0,9279 · 0,9292 · 0,9306 · 0,9319

1,5 · 0,9332 · 0,9345 · 0,9357 · 0,9370 · 0,9382 · 0,9394 · 0,9406 · 0,9418 · 0,9429 · 0,9441

1,6 · 0,9452 · 0,9463 · 0,9474 · 0,9484 · 0,9495 · 0,9505 · 0,9515 · 0,9525 · 0,9535 · 0,9545

1,7 · 0,9554 · 0,9564 · 0,9573 · 0,9582 · 0,9591 · 0,9599 · 0,9608 · 0,9616 · 0,9625 · 0,9633

1,8 · 0,9641 · 0,9649 · 0,9656 · 0,9664 · 0,9671 · 0,9678 · 0,9686 · 0,9693 · 0,9699 · 0,9706

1,9 · 0,9713 · 0,9719 · 0,9726 · 0,9732 · 0,9738 · 0,9744 · 0,9750 · 0,9756 · 0,9761 · 0,9767

2,0 · 0,9772 · 0,9778 · 0,9783 · 0,9788 · 0,9793 · 0,9798 · 0,9803 · 0,9808 · 0,9812 · 0,9817

2,1 · 0,9821 · 0,9826 · 0,9830 · 0,9834 · 0,9838 · 0,9842 · 0,9846 · 0,9850 · 0,9854 · 0,9857

2,2 · 0,9861 · 0,9864 · 0,9868 · 0,9871 · 0,9875 · 0,9878 · 0,9881 · 0,9884 · 0,9887 · 0,9890

2,3 · 0,9893 · 0,9896 · 0,9898 · 0,9901 · 0,9904 · 0,9906 · 0,9909 · 0,9911 · 0,9913 · 0,9916

2,4 · 0,9918 · 0,9920 · 0,9922 · 0,9925 · 0,9927 · 0,9929 · 0,9931 · 0,9932 · 0,9934 · 0,9936

2,5 · 0,9938 · 0,9940 · 0,9941 · 0,9943 · 0,9945 · 0,9946 · 0,9948 · 0,9949 · 0,9951 · 0,9952

2,6 · 0,9953 · 0,9954 · 0,9956 · 0,9957 · 0,9959 · 0,9960 · 0,9961 · 0,9962 · 0,9963 · 0,9964

2,7 · 0,9965 · 0,9966 · 0,9967 · 0,9968 · 0,9969 · 0,9970 · 0,9971 · 0,9972 · 0,9973 · 0,9974

2,8 · 0,9974 · 0,9975 · 0,9976 · 0,9977 · 0,9977 · 0,9978 · 0,9979 · 0,9979 · 0,9980 · 0,9981

2,9 · 0,9981 · 0,9982 · 0,9982 · 0,9983 · 0,9984 · 0,9984 · 0,9985 · 0,9985 · 0,9986 · 0,9986

3,0 · 0,9987 · 0,9987 · 0,9987 · 0,9988 · 0,9988 · 0,9989 · 0,9989 · 0,9989 · 0,9990 · 0,9990

A.5. (2 puntos) El peso en gramos de ciertas bolsas de palomitas se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ y desviación típica igual a $10$ .

Se toma una muestra aleatoria de tamaño $20$ y se obtiene que su media muestral es de $200$ . Determine un intervalo de confianza del $95\,\%$ para el peso medio de dichas bolsas de palomitas.

(;)

Determine el tamaño mínimo de la muestra para que el error máximo cometido en la estimación de la media sea menor que $0{,}5$ gramos, con un nivel de confianza del $90\,\%$ .

Ejercicio B.1 · Álgebra

Considere el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$ :

$\left\{\begin{aligned}

x + 2y + z &= 2 \\

ax - z &= 0 \\

ay + z &= a

\end{aligned}\right.$

Determine $a$ para que el sistema NO sea compatible determinado.

Resuelva el sistema para $a = 2$ .

$x =$

$y =$

$z =$

Ejercicio B.2 · Análisis

Se considera la función

$f(x) = \begin{cases} ax^2 - 1, & \text{si } x \le 1 \\ (x - a)^2, & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Determine los valores de $a \in \mathbb{R}$ que hacen que $f$ sea una función continua en su dominio.

Para $a = 1/2$ , determine, si existen, los puntos de corte de la gráfica de $f$ con el eje de las $x$ .

Ejercicio B.3 · Análisis

Un ensayo clínico indica que la cantidad de glucosa en sangre en ratones tras la ingesta de un determinado fármaco depende del tiempo transcurrido, $t$ (en minutos), según la siguiente función expresada en mg/dl:

$f(t) = 90 + C t^2 e^{-t/5}, \quad 0 \le t \le 60.$

Obtenga razonadamente el valor de la constante $C$ sabiendo que la tasa de variación instantánea de la cantidad de glucosa a los $5$ minutos de la ingesta del producto es $15/e$ .

Para $C = 3$ , indique a partir de qué momento disminuye la cantidad de glucosa en sangre. Señale también la cantidad máxima de glucosa en sangre alcanzada tras la ingesta del fármaco.

Nota: Expresa los resultados con 2 cifras decimales.

Ejercicio B.4 · Probabilidad

Un virus muy peligroso está presente en el $5\%$ de la población nacional. Se tiene un test para detectar la presencia del virus que es correcto en el $85\%$ de los casos. Es decir, entre los portadores del virus, el test ha dado positivo el $85\%$ de las veces y entre los no portadores ha dado negativo el $85\%$ de las veces.

Si se practica el test a un individuo de la población escogido al azar, ¿cuál es la probabilidad de que dé positivo?

Si da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que el individuo escogido realmente sea un portador del virus?

Ejercicio B.5 · Inferencia Estadística