Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Madrid 2021 · Modelo

A. 1. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se consideran las matrices $A$ y $B$ dadas por

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & c & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

a)

Determine los valores de los parámetros reales $a, b$ y $c$ para que se verifique $A^2 = A - B$.

b)

Para $a = b = c = 2$, estudie si la matriz $A$ es invertible y, en caso afirmativo, calcule su inversa $A^{-1}$.

Sí

No

$A^{-1} =$

A. 2. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera la función real de variable real $f(x)$ definida por $$f(x) = ax^2 + bx + c$$

a)

Obtenga los coeficientes reales $a, b$ y $c$, de $f(x)$ sabiendo que la función tiene un extremo relativo en el punto de abscisa $x = -3$ y que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 0$ es $y = 6x + 8$.

b)

Para $a = 2, b = 1$ y $c = 1$, calcule la integral $\int_1^e \frac{f(x)}{x} \, dx$

Dada la función $$f(x) = x + \frac{4}{x^2}$$

a)

Halle el dominio de la función y sus asíntotas.

b)

Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y, si los hubiera, sus extremos relativos.

A. 4. (Calificación máxima: 2 puntos)

En un mercado agropecuario el $70\,\%$ de las verduras que se comercializan son de proximidad y el resto no. El $30\,\%$ de las verduras de proximidad son ecológicas, mientras que de las que no son de proximidad, solo son ecológicas el $10\,\%$. Si un cliente elegido al azar ha realizado una compra de una verdura, calcule las siguientes probabilidades:

a)

Probabilidad de que la verdura comprada no sea ecológica.

b)

Probabilidad de que la verdura sea de proximidad o ecológica.

El número de kilómetros que un corredor entrena a la semana mientras prepara una carrera popular se puede aproximar por una variable aleatoria de distribución normal de media $\mu$ horas y desviación típica $\sigma = 10$ horas.

a)

Se toma una muestra aleatoria simple de 20 atletas, obteniéndose una media muestral de 30 kilómetros. Determine un intervalo de confianza al 95 % para $\mu$.

b)

Suponga que $\mu = 28$ kilómetros. Calcule la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de 10 atletas, la media muestral, $\overline{X}$, esté entre 28 y 30 kilómetros.

Un agricultor dispone de 5 hectáreas, como máximo, de terreno para dedicar a la plantación de trigo y cebada. Cada hectárea dedicada al trigo le supone un beneficio de 200 euros, mientras que cada hectárea dedicada a la cebada le supone un beneficio de 60 euros. Entre ambos cultivos es obligatorio plantar como mínimo una hectárea, y la normativa autonómica le obliga a que el cultivo de trigo ocupe como mucho una hectárea más que el de cebada. Represente la región factible, determine las hectáreas que debería dedicar a cada cultivo para maximizar sus beneficios y obtenga el valor del beneficio máximo.

a)

Representación gráfica de la región factible:

b)

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$:

$\begin{cases}

x + y + z = 2a - 1 \\

2x + y + az = 1 \\

x + ay + z = 1

\end{cases}$

a)

Discuta el sistema en función de los valores del parámetro $a$:

b)

Resuelva el sistema de ecuaciones para $a = 0$:

Se considera la función real de variable real definida por$$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax - \dfrac{1}{9} & \text{si } x \le 0, \\[8pt] \dfrac{x + 1}{x^2 - 9} & \text{si } x > 0. \end{cases}$$

a)

Determine el dominio de $f(x)$ y calcule el valor del parámetro $a \in \mathbb{R}$ para que $f(x)$ sea derivable en todo su dominio.

b)

Para $a = 0$ determine, si existen, las asíntotas de $f(x)$.

Sean $C$ y $D$ dos sucesos de un experimento aleatorio tales que $P(C) = 0{,}4$, $P(D) = 0{,}6$ y $P(C \cup D) = 0{,}8$. Calcule:

a)

b)

Las calorías consumidas por un atleta durante una carrera popular se pueden aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ calorías y desviación típica $\sigma = 300$ calorías.

a)

Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de $\mu$ sea menor de 100 calorías con un nivel de confianza del 95 %.

b)

Suponga que $\mu = 3000$ calorías. Calcule la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de tamaño $n = 50$ atletas, la media de las calorías consumidas durante la carrera por los 50 atletas sea mayor que 2700 calorías.