Examen de Matemáticas II PAU Galicia 2023 · Extraordinaria

1. Números y Álgebra:

a)

Calcule $A$ si $(AB)^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$.

$A = \left(\vphantom{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right.$ $\\ \phantom{A = (}$ $\left.\vphantom{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right)$

b)

Si $A = \begin{pmatrix} 3 & x \\ y & z \end{pmatrix}$ es invertible, obtenga los valores de $x$, $y$ y $z$ sabiendo que $\det(A - 3I) = 0$, que $y \neq 0$ y que $(3z)A^{-1} + I = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$. Entiéndase que $I$ es la matriz identidad.

2. Números y Álgebra:

Discuta, según los valores del parámetro $m$, el sistema:$$\begin{cases}(m + 1)x & & + & z & = & 1, \\ (m + 1)x & + & y & + & z & = & m + 1, \\ (m + 1)x & + & my & + & (m - 1)z & = & m.\end{cases}$$

3. Análisis:

a)

Enuncie los teoremas de Rolle y del valor medio del cálculo diferencial.

b)

Explique si $f: [0,1] \to \mathbb{R}$, $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$, está o no en las hipótesis del teorema del valor medio del cálculo diferencial. En caso de que lo esté, calcule un valor $c$ para el cual se cumpla la tesis de ese teorema.

$c =$

4. Análisis:

a)

Calcule mediante cambio de variable las integrales $\int (\sin x)^5 \cos x \, dx$ y $\int \frac{\ln x}{x} \, dx$.

$+ \, C$

$+ \, C$

b)

Calcule $\int \frac{\ln x}{x} \, dx$ empleando el método de integración por partes. Luego, obtenga algún valor de $B$ tal que $\int_e^B \frac{\ln x}{x} \, dx = 3/2$.

$B =$

5. Geometría:

a)

Considérense el plano $\pi: ax + y + z = 1$, donde $a$ es un parámetro real, y la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+1}{3}$. Estudie la posición relativa de $\pi$ y $r$ en función de $a$ y obtenga el valor de $a$ que hace que $\pi$ y $r$ sean perpendiculares. Por último, razone si $r$ puede estar contenida en $\pi$ o no.

b)

Si $\pi: -3x + y + z = 1$, diga qué valor tiene que tomar $b$ para que $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y-b}{3} = \frac{z+1}{3}$ esté contenida en $\pi$.

6. Geometría:

Considérese el plano $\pi: 2x - y + z = 1$. Se pide:

a)

Calcular la distancia de $\pi$ al punto de corte de las rectas $r_1: \begin{cases} x = 2 + \lambda, \\ y = 0, \\ z = -1 - \lambda \end{cases}$ y $r_2: \begin{cases} x = \mu, \\ y = -1 + \mu, \\ z = 0, \end{cases} (\lambda, \mu \in \mathbb{R})$.

b)

Obtener el punto simétrico de $P(1,0,0)$ con respecto a $\pi$.

7. Estadística y Probabilidad:

a)

Calcule $P(A|B)$ si $B \subset A$.

Luego, si $P(C) = 0.5$ y $P(D) = 0.6$, explique si $C$ y $D$ pueden ser incompatibles.

Por último, obtenga $P(E \cup F)$ y $P(E \cap \bar{F})$ si $E$ y $F$ son independientes, $P(E) = 0.3$ y $P(F) = 0.2$.

7. Estadística y Probabilidad:

b)

Se tira un dado siete veces. Calcule la probabilidad de que salgan exactamente dos seises.

Para un determinado grupo de pacientes, la tensión arterial sistólica (medida en mmHg) sigue una distribución normal de media 123.6 y desviación típica 17.8.

a)

Calcule la probabilidad de que un paciente elegido al azar tenga una tensión comprendida entre 100 y 120 mmHg.

b)

Luego, obtenga el valor de la tensión que es superado por el 67% de los pacientes.

mmHg