Examen de Matemáticas II PAU Extremadura 2022 · Ordinaria

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ a \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

a) Calcular, cuando sea posible, las matrices $C \cdot B^t$, $B^t \cdot C$, $B \cdot C$, donde $B^t$ es la matriz traspuesta de $B$. [0,5 puntos]

$B^t \cdot C = ($

$)$

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ a \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

b) Hallar $a \in \mathbb{R}$ para que el sistema $x \cdot A + y \cdot B = C$ de tres ecuaciones y dos incógnitas $x$ e $y$, sea compatible determinado y resolverlo para ese valor de $a$. [1,5 puntos]

$a =$

$x =$

$y =$

2. Dadas las matrices

$$M = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}.$$

Calcular la matriz $X$ cuadrada de orden 3 que cumple $M \cdot X - N = 2X$. [2 puntos]

Dados el plano $\pi$ de ecuación $x + 2y - z = 0$ y la recta de ecuaciones $$r \equiv \begin{cases} y - 2x = 1 \\ x - z = 0. \end{cases}$$

a) Hallar el punto de intersección del plano $\pi$ y la recta $r$. [1 punto]

$x =$

$y =$

$z =$

Dados el plano $\pi$ de ecuación $x + 2y - z = 0$ y la recta de ecuaciones $$r \equiv \begin{cases} y - 2x = 1 \\ x - z = 0. \end{cases}$$

b)

Calcular la distancia del origen a la recta $r$.

Dada la recta $r$ definida por

$$\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 2}{1}$$

a)

Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a $r$.

b)

Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a $r$.

5. Calcular el valor de $a \in \mathbb{R}$ para que la función

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x \cdot e^x - \operatorname{sen} x}{x^2} & \text{si } x \neq 0 \\[2ex] a & \text{si } x = 0 \end{cases}$$

sea continua en $x = 0$.

[2 puntos]

6. Dada la función $f(x) = |x + 1| + |x - 2|$.

a)

Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función.

[1 punto]

b)

Calcular el intervalo donde la función permanece constante.

[1 punto]

7. Determinar la función $f(x)$ tal que su gráfica pase por el origen de coordenadas y su derivada sea $f'(x) = (2x + 1)e^{-x}$.

[2 puntos]

8. Calcular el área encerrada por la gráfica de la función $f(x) = \operatorname{sen}(2x)$, el eje OX y las rectas $x = 0$ y $x = \pi$.

[2 puntos]

En un centro educativo han preguntado a sus alumnos acerca de alergias alimentarias, resultando que un $10\,\%$ es celiaco y un $15\,\%$ es alérgico a la lactosa. Además el $20\,\%$ tiene alguna de las dos alergias. Si se elige un alumno al azar, calcular las siguientes probabilidades:

a)

Probabilidad de que tenga solo una de las dos alergias:

b)

Probabilidad de que sea celiaco si sabemos que no es alérgico a la lactosa:

Un examen con opción múltiple está compuesto por 10 preguntas, con cuatro respuestas posibles cada una, de las cuales sólo una es correcta. Suponga que uno de los estudiantes responde todas las preguntas del examen al azar. Calcular la probabilidad de que conteste bien

a)

cinco preguntas,

b)

alguna pregunta.

c)

Calcular la media y la desviación típica de la distribución.