Examen de Matemáticas II PAU Extremadura 2024 · Ordinaria

Sea $b \in \mathbb{R}$ y la matriz $$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & b+1 \\ b+2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & b \end{pmatrix}$$

a)

Calcular los valores de $b$ para los que $A$ tiene inversa. (1 punto)

b)

Hallar $A^{-1}$ para el caso $b = 0$ (debe justificarse adecuadamente la respuesta). (1 punto)

Dadas las matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad M = \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 1 \\ a-b & 1 \end{pmatrix} \quad y \quad N = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ hallar los valores de $a$ y $b$ para que el producto $A \cdot M$ sea igual a la inversa de la matriz $N$. (2 puntos)

Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta $$r \equiv \begin{cases} x - y - 4z + 1 = 0 \\ x - 2z + 1 = 0 \end{cases}$$ y es paralelo a la recta de ecuación $$s \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z}{3}$$ (2 puntos)

4. Dados los puntos $A(1,2,1)$, $B(0,3,1)$ y $C(1,0,-1)$. Determinar:

a)

Un vector unitario y ortogonal a los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. [1 punto]

b)

El ángulo determinado por dichos vectores. [0,5 puntos]

c)

El área del triángulo que forman $A$, $B$ y $C$. [0,5 puntos]

5. Hallar los intervalos de crecimiento y los puntos extremos de la función $f(x) = x^2 \cdot e^{-x}$.

6. Calcular el valor de $a$ para que la función

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\operatorname{sen}(x) - x \cdot e^x}{x^2 - 2\cos(x) + 2} & \text{si } x \neq 0 \\[2ex] a & \text{si } x = 0 \end{cases}$$

sea continua en $x = 0$.

7. Hallar una primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = (2x + 5) \cdot e^{-2x}$ que cumpla $F(0) = 0$.

[2 puntos]

$F(x) =$

8. Calcular el área encerrada entre las gráficas de las funciones $f(x) = x^3 - 5x$ y $g(x) = -x$.

[2 puntos]

$\text{u}^2$

9. En una residencia de ancianos el $80\,\%$ de los residentes tiene cuenta de correo electrónico, el $60\,\%$ tiene redes sociales, y el $10\,\%$ no tiene ni correo electrónico ni redes sociales. Se pide calcular la probabilidad:

[2 puntos]

a)

De que un residente use correo electrónico y redes sociales. [0.5 puntos]

b)

De que un residente use sólo una de las dos cosas. [0.75 puntos]

c)

De que un residente use correo electrónico sabiendo que no usa redes sociales. [0.75 puntos]

10. Luis es un estudiante bastante despistado y su tutora está cansada de que llegue tarde a clase. Ella le propone el siguiente trato: si en los próximos 10 días Luis llega tarde como mucho 3 días, le subirá 1 punto en la nota final de la evaluación. Sabiendo que la probabilidad de que Luis llegue tarde a clase cada día es $0.5$, determinar:

[2 puntos]

a)

El tipo de distribución que sigue la variable aleatoria que cuenta el número de días que Luis llega tarde a clase en los próximos 10 días. ¿Cuáles son sus parámetros? [0.5 puntos]

Distribución:

$n =$

$p =$

b)

¿Cuál es la media y la desviación típica de esta distribución? [0.75 puntos]

Media $\mu =$

Desviación típica $\sigma =$

c)

¿Cuál es la probabilidad de que Luis consiga esa subida de 1 punto en la nota final? [0.75 puntos]

$P(X \le 3) =$