Examen de Matemáticas II PAU Extremadura 2023 · Ordinaria

Encontrar la matriz $X$ que verifica $(A - 3I) \cdot X = 2I$, donde

$$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

e $I$ es la matriz identidad de orden 3.

Determinar todos los números $x \in \mathbb{R}$ para los que el determinante

$$\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & x & 3 \\ 4 & 1 & -x \end{vmatrix}$$

es mayor o igual que cero.

$x \in [\;$

$,\;$

$]$

Estudiar la posición relativa de los siguientes planos en función del parámetro $b$:

$\left\{\begin{array}{rcrcrcl}

x & + & 2y & - & z & = & 2 \\

x & + & (1+b)y & - & bz & = & 2b \\

x & + & by & + & (1+b)z & = & 1

\end{array}\right.$

4. Hallar un vector de módulo 5 que sea ortogonal a los vectores $\vec{u} = (1, 2, 0)$ y $\vec{v} = (-1, 0, 1)$. [2 puntos]

a)

Comprobar que hay alguna solución positiva y alguna negativa de la ecuación [1,5 puntos]

$$x \cdot \cos(2x) = x^2 - 1$$

b)

Aproximar la solución positiva encontrada con un error menor que una décima. [0,5 puntos]

Calcular $a$, $b$ y $c$ para que la función

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } 0 \leqslant x < 1 \\ cx & \text{si } 1 \leqslant x \leqslant 4 \end{cases}$$

cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo $[0, 4]$. [2 puntos]

7. Calcular la integral

$$\int \frac{17 - x}{x^2 + x - 6} \, dx$$

8. Hallar el área encerrada por la gráfica de la función $f(x) = x^3 - 4x$ y el eje de abscisas.

9. Al 80 % de los alumnos de una clase les gusta el fútbol; al 40 % les gusta el balonmano y al 30 % les gustan ambos deportes. Si se elige un alumno al azar,

a)

¿Cuál es la probabilidad de que le guste alguno de los dos deportes (uno o los dos)?

b)

¿Cuál es la probabilidad de que le guste solo el fútbol?

c)

Si sabemos que no le gusta el fútbol, ¿cuál es la probabilidad de que le guste el balonmano?

Durante el día de hoy una persona va a escribir 15 mensajes en Facebook. Cada mensaje que escribe tiene errores ortográficos con una probabilidad de 0.3. Calcular:

a)

La probabilidad de que escriba exactamente 5 mensajes con errores ortográficos. [0,75 puntos]

b)

La probabilidad de que escriba 4 ó más mensajes con errores. [0,75 puntos]

c)

La media y la desviación típica de la distribución. [0,5 puntos]