Examen de Matemáticas II PAU Extremadura 2025 · Ordinaria

EJERCICIO 1A. [2,5 puntos] a) 1,5 puntos, b) 1 punto.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones, donde $k \in \mathbb{R}$:$$\begin{cases} x + ky + z = 2 + k \\ 2x - y - kz = 1 - k \\ x - y - z = -1 \end{cases}$$

a)

Discutir el sistema en función del parámetro $k$.

b)

Resolver para el caso $k = 1$.

EJERCICIO 1B. [2,5 puntos] a) 1 punto, b) 0,75 puntos, c) 0,75 puntos.

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} m & 1 \\ 0 & -m \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ con $m \in \mathbb{R}$.

a)

Calcular el valor de $m$ para que se verifique la igualdad $A^2 - A = B$.

b)

Calcular $m$ para que la matriz $A + B - I$ tenga inversa siendo $I$ la matriz unidad de orden 2.

c)

Para $m = 2$ obtener la inversa de la matriz $A + B - I$.

Dadas las funciones $f(x)=2$ y $g(x)=x^3+x^2-2x$

EJERCICIO 2A. [2,5 puntos] a) 1 punto, b) 1 punto, c) 0,5 puntos.

Dada la función $f(x) = (x-1)e^{-x}$

a)

Determina los máximos y mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$.

b)

Determina la curvatura (concavidad y convexidad) y puntos de inflexión de $f(x)$.

c)

Calcula la ecuación de la recta tangente a $f(x)$ para $x = 1$.

Dadas las funciones $f(x)=2$ y $g(x)=x^3+x^2-2x$

EJERCICIO 2B - Apartado a). [1,25 puntos]

a)

Calcular $\displaystyle\int \frac{f(x)}{g(x)} \, dx$

Dadas las funciones $f(x)=2$ y $g(x)=x^3+x^2-2x$

b)

Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de $g(x)$ y el eje $X$.

Se consideran el plano $\pi \equiv x+y-z=3$ y la recta $r \equiv \frac{x}{3} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z+1}{2}$.

a)

Comprobar que el plano $\pi \equiv x + y - z = 3$ y la recta $r \equiv \dfrac{x}{3} = \dfrac{y-1}{-1} = \dfrac{z+1}{2}$ no se cortan. [1 punto]

c)

Obtener la ecuación del plano perpendicular a la recta $r$ y que pase por el punto $(0, 1, -1)$. [0,5 puntos]

Se consideran el plano $\pi \equiv x+y-z=3$ y la recta $r \equiv \frac{x}{3} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z+1}{2}$.

b)

Calcular la distancia entre el plano $\pi$ y la recta $r$ del apartado anterior.

Dados los puntos $A(1,0,2)$, $B(1,m,6)$, $C(2,1,4)$ y $D(4,3,2)$.

a)

Calcular $m$ para que los 4 puntos sean coplanarios.

b)

Obtener la ecuación general del plano $ACD$.

Dados los puntos $A(1,0,2)$, $B(1,m,6)$, $C(2,1,4)$ y $D(4,3,2)$.

c)

Para $m=2$, calcular un vector perpendicular al plano $ABC$ de módulo 4 y calcular el área del triángulo $ABC$.

Se sabe que la altura de los estudiantes de segundo de bachillerato de una cierta población se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $174\text{ cm}$ y desviación típica $12\text{ cm}$.

a)

Calcular el porcentaje de estudiantes cuya altura está entre $162\text{ cm}$ y $186\text{ cm}$.

b)

¿Qué altura tendrá un alumno si el $67\%$ de los estudiantes miden más que él?

c)

Si tomamos una muestra de $1000$ estudiantes de esa población, ¿cuántos tendrán una altura superior a $170\text{ cm}$?