Ejercicio E8 · Matemáticas II PAU Castilla y León Extraordinaria 2021

a) Demostrar que la ecuación f(x) = 0 tiene al menos una solución en el intervalo [0, π/2].

Solución: Aplicación del teorema de Bolzano: $f(x)$ es continua en $[0, \pi/2]$, con $f(0) = -1 < 0$ y $f(\pi/2) = \pi/2 > 0$, por lo que existe al menos un $c \in (0, \pi/2)$ tal que $f(c) = 0$.

b) Probar que la ecuación f(x) = 0 solo puede tener una solución en el intervalo [0, π/2], de modo que la solución del apartado anterior es la única.

Solución: $f'(x) = 1 + \sin(x) > 0$ en $(0, \pi/2)$, luego $f$ es estrictamente creciente y la solución es única (o bien por el teorema de Rolle, si hubiera dos soluciones existiría un punto con $f'(c) = 0$, lo cual es imposible).