Exámenes de Álgebra UOC 2023
Los 3 exámenes de Álgebra de la UOC (Grado en Ingeniería Informática) de 2023 (Juny y Examen final de Álgebra - Julio 2023), con 19 problemas resueltos. Entran temas como Números complejos: formas, operaciones y conjugado y Raíces n-ésimas y ecuaciones en el plano complejo. Practícalos con corrección al momento, pistas en cada apartado y la solución paso a paso.
Juny (2023)
Temas del examen: Números complejos: formas, operaciones y conjugado · Raíces n-ésimas y ecuaciones en el plano complejo · Rango y sistemas de ecuaciones lineales con parámetros · Coordenadas, cambio de base y ortogonalidad · Transformaciones geométricas en 2D y 3D
- Question 1.a - Operaciones con números complejos · Números complejos: formas, operaciones y conjugado
Determine the complex number in algebraic form x^2 / (conjugate(y) * z), taking x = 2 + i, y = -3 + 2i, and z = -i. - Question 1.b - Raíces de números complejos · Raíces n-ésimas y ecuaciones en el plano complejo
Calculate all fourth roots of 81(cos(2pi/3) + i*sin(2pi/3)) and write the solutions in polar representation r_theta with arguments in [0, 2pi). - Question 2 · Rango y sistemas de ecuaciones lineales con parámetros
Consider a linear system of 4 equations in 3 variables with parameters a in {0,...,9} and real k: (1) x+y+z=1; (2) (a+1)x+ky+(a+1)z=a+1; (3) (a+1)x+(a+1)y+kz=a+1; (4) (a+1)x+(a+1)y+(a+1)z=k. a.… - Question 3 · Coordenadas, cambio de base y ortogonalidad
Let E be the subspace defined by a1+a2+a3=a4 in R^4. Check if A is a basis, verify v in E and find coordinates [v]_A. Given change-of-basis matrix C_{B->A}, find vectors of basis B and determine… - Question 4 · Transformaciones geométricas en 2D y 3D
Find the affine matrix in homogeneous coordinates for a homothety of ratio r = a+2 centered at P(-5, a) and calculate the image of Q(1, 1). For a given rotation matrix M, find the angle of rotation…
Examen final de Álgebra - Julio 2023 (2023)
Temas del examen: Números complejos: formas, operaciones y conjugado · Raíces n-ésimas y ecuaciones en el plano complejo · Geometría en R²/R³: rectas, planos y posiciones relativas · Espacios vectoriales: dependencia lineal, bases y dimensión · Coordenadas, cambio de base y ortogonalidad · Valores y vectores propios. Diagonalización
- Pregunta 1.a - Números complejos · Números complejos: formas, operaciones y conjugado
Resuelve la ecuación x = i + y^2 sabiendo que y = 3_(pi/6). Expresa el valor de x en forma binómica. - Pregunta 1.b - Radicación compleja · Raíces n-ésimas y ecuaciones en el plano complejo
Encuentra todas las soluciones en forma polar de x^3 = 10 + 5i, con los argumentos en grados dentro de [0°, 360°). - Pregunta 2 · Geometría en R²/R³: rectas, planos y posiciones relativas
Discute la posición relativa de tres planos según los parámetros m y k, y halla el punto de corte en función de a para m=2 y k=1. - Pregunta 3.a - Subespacios vectoriales · Espacios vectoriales: dependencia lineal, bases y dimensión
Halla la dimensión del subespacio F y una base A del mismo a partir de los vectores e1, e2, e3 y e4. - Pregunta 3.b - Cambio de base y ortogonalidad · Coordenadas, cambio de base y ortogonalidad
Determinar si el conjunto B dado es base de F, calcular la matriz de cambio de base de A a B y determinar si B es ortogonal respecto al producto escalar canónico. - Pregunta 4 · Valores y vectores propios. Diagonalización
Pregunta 4: Para el endomorfismo f en R^3 con matriz M(f|C,C) dada en función de los parámetros a y b, halla el polinomio característico, el valor propio de w = (0,0,1), un vector propio u para a -…
Examen final de Álgebra - Julio 2023 (2023)
Temas del examen: Números complejos: formas, operaciones y conjugado · Raíces n-ésimas y ecuaciones en el plano complejo · Inducción matemática y propiedades de los naturales · Rango y sistemas de ecuaciones lineales con parámetros · Espacios vectoriales: dependencia lineal, bases y dimensión · Aplicaciones lineales: matriz asociada, núcleo e imagen · Valores y vectores propios. Diagonalización
- Pregunta 1.a - Operaciones con números complejos · Números complejos: formas, operaciones y conjugado
Halle el conjugado del valor z^3, siendo z = 3e^{i pi/4}. Exprese el resultado en forma binómica. - Pregunta 1.b - Raíces de números complejos · Raíces n-ésimas y ecuaciones en el plano complejo
Calcule todas las soluciones correspondientes a la raíz cuarta de 3 - 2i en forma exponencial con el argumento en [0°, 360°). - Pregunta 2.a - Rango matricial · Rango y sistemas de ecuaciones lineales con parámetros
Determine el rango de la matriz M en función del parámetro real k pertenecienta a R. - Pregunta 2.b - Sistemas de ecuaciones lineales · Rango y sistemas de ecuaciones lineales con parámetros
Interpretar M como matriz ampliada de un sistema lineal con 2 incógnitas y resolver para el valor de k que lo hace compatible determinado. - Pregunta 3.a - Espacios vectoriales · Espacios vectoriales: dependencia lineal, bases y dimensión
Pregunta 3.a: Hallar la dimensión del subespacio F y determinar una base A del mismo a partir de los vectores generadores en R^4. - Pregunta 3.b - Inducción matemática · Inducción matemática y propiedades de los naturales
Pregunta 3.b: Demostrar mediante el método de inducción matemática que la familia de vectores w_n = (0, -2, an + n + 2, 6) pertenece a F para todo n >= 1. - Pregunta 4.a - Núcleo e imagen · Aplicaciones lineales: matriz asociada, núcleo e imagen
Calcular en función del parámetro b una base de ker(f), su dimensión y la dimensión del espacio imagen Im(f). - Pregunta 4.b - Autovalores y autovectores · Valores y vectores propios. Diagonalización
Calcular para qué valor del parámetro c los vectores de B={(-1,c,0), (0,1,0), (1,0,c)} son autovectores de f y determinar sus autovalores asociados.
También puedes estudiar por temas
Practica un tema con ejercicios de los exámenes de todos los años, mezclados.
- Números complejos: formas, operaciones y conjugado · 8 problemas · 75 % de que salga
- Raíces n-ésimas y ecuaciones en el plano complejo · 8 problemas · 75 % de que salga
- Rango y sistemas de ecuaciones lineales con parámetros · 9 problemas · 70 % de que salga
- Espacios vectoriales: dependencia lineal, bases y dimensión · 7 problemas · 70 % de que salga
- Coordenadas, cambio de base y ortogonalidad · 7 problemas · 70 % de que salga
- Valores y vectores propios. Diagonalización · 7 problemas · 70 % de que salga