Question 4 · Álgebra UOC Juny 2023

Tema: Transformaciones geométricas en 2D y 3D · Del examen Juny (2023)

Enunciado

Question 4 (25% of final grade). Affine transformations in the plane

Let $a \in \{0, 1, \dots, 9\}$ be a parameter.

Construct the affine transformation matrix in homogeneous coordinates for a homothety (scaling) with ratio $r = a + 2$ centered at the point $P = (-5, a)$ . Find the image of the point $Q = (1, 1)$ under this transformation.

$x' =$

$y' =$

The following matrix in homogeneous coordinates defines a rotation in $\mathbb{R}^2$ : $M = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & (2-\sqrt{3})(a+1) \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & -(a+1) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ Find the angle of rotation $\alpha$ and the coordinates of the center of rotation.

$x_C =$

$y_C =$

Enunciado: Question 4 · Álgebra UOC Juny 2023

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Matrix $M_{\text{scale}}$ row 1, col 1:

Solución: $a + 2$

a) Matrix $M_{\text{scale}}$ row 1, col 2:

Solución: $0$

a) Matrix $M_{\text{scale}}$ row 1, col 3:

Solución: $5a + 5$

a) Matrix $M_{\text{scale}}$ row 2, col 1:

Solución: $0$

a) Matrix $M_{\text{scale}}$ row 2, col 2:

Solución: $a + 2$

a) Matrix $M_{\text{scale}}$ row 2, col 3:

Solución: $-a^2 - a$

a) Matrix $M_{\text{scale}}$ row 3, col 1:

Solución: $0$

a) Matrix $M_{\text{scale}}$ row 3, col 2:

Solución: $0$

a) Matrix $M_{\text{scale}}$ row 3, col 3:

Solución: $1$

a) Image $x'$ of $Q(1,1)$ :

Solución: $6a + 7$

a) Image $y'$ of $Q(1,1)$ :

Solución: $2 - a^2$

b) Angle of rotation $\alpha$ :

Solución: $\frac{\pi}{6}$ / $30^\circ$

b) Center of rotation $x_C$ :

Solución: $2(a+1)$ / $2a + 2$

b) Center of rotation $y_C$ :

Solución: $0$

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