Examen de Álgebra UOC 2023 · final de - Julio 2023

Resuelva de forma razonada las siguientes cuestiones relativas a números complejos:

a. Halle el conjugado del valor $z^3$, siendo $z = 3e^{i\frac{\pi}{4}}$. Exprese el resultado en forma binómica.

Resuelva de forma razonada las siguientes cuestiones relativas a números complejos:

b. Calcule todas las soluciones correspondientes a la raíz cuarta $\sqrt[4]{3 - 2i}$. Entregue las soluciones en forma exponencial con el argumento expresado en grados dentro del intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$.

$z_0$:

$z_1$:

$z_2$:

$z_3$:

Considere la siguiente matriz dependiente de los parámetros $k$ y $a$:

$$M = \begin{pmatrix} 0 & 6k + 1 & 21 + a \\ 0 & 6k + 1 & k + 20 \\ k + 1 & -2k - 1 & a - 13 \end{pmatrix}$$

(El parámetro $a$ toma el valor del dígito de las unidades del código de estudiante IDP, es decir, $a \in \{0, 1, \dots, 9\}$).

a. Determine el rango de la matriz $M$ en función del parámetro real $k \in \mathbb{R}$.

Considere la siguiente matriz dependiente de los parámetros $k$ y $a$:

$$M = \begin{pmatrix} 0 & 6k + 1 & 21 + a \\ 0 & 6k + 1 & k + 20 \\ k + 1 & -2k - 1 & a - 13 \end{pmatrix}$$

(El parámetro $a$ toma el valor del dígito de las unidades del código de estudiante IDP, es decir, $a \in \{0, 1, \dots, 9\}$).

b. Si se interpreta la matriz $M$ como la matriz ampliada $(A|b)$ de un sistema lineal de ecuaciones con dos incógnitas, resuélvalo para el valor de $k$ que hace que el sistema sea compatible determinado.

En el espacio vectorial $\mathbb{R}^4$ se consideran los siguientes vectores:

$$e_1 = (1, -1, 0, 1), \quad e_2 = (-1, 0, 1, 2), \quad e_3 = (0, 0, a + 1, 0), \quad e_4 = (0, -1, a + 2, 3)$$

donde $a \in \{0, 1, \dots, 9\}$ representa el tercer dígito desde la derecha de su código de identificación personal. Sea $F = \langle e_1, e_2, e_3, e_4 \rangle$ el subespacio generado por dichos vectores.

a)

Halle la dimensión del subespacio $F$ y determine una base $A$ del mismo.

En el espacio vectorial $\mathbb{R}^4$ se consideran los siguientes vectores:

$$e_1 = (1, -1, 0, 1), \quad e_2 = (-1, 0, 1, 2), \quad e_3 = (0, 0, a + 1, 0), \quad e_4 = (0, -1, a + 2, 3)$$

donde $a \in \{0, 1, \dots, 9\}$ representa el tercer dígito desde la derecha de su código de identificación personal. Sea $F = \langle e_1, e_2, e_3, e_4 \rangle$ el subespacio generado por dichos vectores.

b)

Se define la familia de vectores $w_n = (0, -2, an + n + 2, 6)$ para cada entero positivo $n \ge 1$. Demuestre mediante el método de inducción matemática que $w_n \in F$ para todo $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 1$.

Sea $a \in \{0, 1, \dots, 9\}$ el segundo dígito desde la derecha del identificador IDP. Se define el endomorfismo $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ a través de las imágenes de los vectores de la base canónica $C$:

$\begin{aligned}

f(1, 0, 0) &= (a + 1, -(a + 1)(b + 1), 0) \\

f(0, 1, 0) &= (0, a - b, 0) \\

f(0, 0, 1) &= (-1, b + 1, 0)

\end{aligned}$

con $b \in \mathbb{R}$ tal que $b \neq -1$.

a. Calcule, en función del parámetro $b$, una base del núcleo $\operatorname{ker}(f)$, determine su dimensión y halle la dimensión del espacio imagen $\operatorname{Im}(f)$.

Caso 1: $b \neq a$ (con $b \neq -1$)

Caso 2: $b = a$

Sea $a \in \{0, 1, \dots, 9\}$ el segundo dígito desde la derecha del identificador IDP. Se define el endomorfismo $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ a través de las imágenes de los vectores de la base canónica $C$:

$\begin{aligned}

f(1, 0, 0) &= (a + 1, -(a + 1)(b + 1), 0) \\

f(0, 1, 0) &= (0, a - b, 0) \\

f(0, 0, 1) &= (-1, b + 1, 0)

\end{aligned}$

con $b \in \mathbb{R}$ tal que $b \neq -1$.

b. Calcule para qué valor del parámetro $c \in \mathbb{R}$ los vectores del conjunto $$B = \{(-1, c, 0), (0, 1, 0), (1, 0, c)\}$$ son vectores propios (autovectores) de $f$ y determine los valores propios (autovalores) asociados a cada uno de ellos.