Examen de Álgebra UOC 2023 · final de - Julio 2023

Pregunta 1 (2,5 puntos). Números complejos y radicación

Responde detalladamente a las siguientes cuestiones:

a.

Resuelve la ecuación $x = i + y^2$, sabiendo que $y = 3_{\frac{\pi}{6}}$. Expresa el valor de $x$ en forma binómica.

Pregunta 1 (2,5 puntos). Números complejos y radicación

Responde detalladamente a las siguientes cuestiones:

b.

Encuentra todas las soluciones en el conjunto de los complejos de la ecuación binómica $x^3 = 10 + 5i$. Da los resultados en forma polar, indicando el argumento principal en grados dentro del intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$.

°

°

°

Dados los tres planos dependientes de los parámetros $m, k \in \mathbb{R}$ y de la constante $a$ ($a \in \{0, 1, \dots, 9\}$):

$$\pi_1: (a + 1)x + my + z = a$$

$$\pi_2: (2a + 2)x + ky - z = -m$$

$$\pi_3: (a + 1)x - y + z = k$$

a.

Determina de forma justificada la posición relativa de los tres planos según los distintos valores de $m$ y $k$.

b.

Determina qué punto comparten los tres planos cuando $m = 2$ y $k = 1$. Expresa las coordenadas en función de la constante $a$.

Considera los siguientes vectores de $\mathbb{R}^4$:

$$e_1 = (-1, 1, 0, 1), \quad e_2 = (0, -1, 1, 2), \quad e_3 = (0, 0, 0, a + 5), \quad e_4 = (-1, 0, 1, a + 8)$$

donde $a$ es la tercera cifra por la derecha de tu identificador IDP ($a \in \{0, 1, \dots, 9\}$), y sea $F = \langle e_1, e_2, e_3, e_4 \rangle$.

a.

Halla la dimensión del subespacio $F$ y una base $A$ del mismo.

Considera los siguientes vectores de $\mathbb{R}^4$:

$$e_1 = (-1, 1, 0, 1), \quad e_2 = (0, -1, 1, 2), \quad e_3 = (0, 0, 0, a + 5), \quad e_4 = (-1, 0, 1, a + 8)$$

donde $a$ es la tercera cifra por la derecha de tu identificador IDP ($a \in \{0, 1, \dots, 9\}$), y sea $F = \langle e_1, e_2, e_3, e_4 \rangle$.

b.

Dado el conjunto de vectores $B = \{(1, 0, -1, 0), (0, 1, -1, 0), (0, 0, 0, 1)\}$:

Sí

No

Sí

No

Pregunta 4 (2,5 puntos). Diagonalización y matriz asociada a una aplicación lineal

Sea $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ un endomorfismo cuya matriz en la base canónica $C$ es:

$$M(f|C,C) = \begin{pmatrix} a - b & 2(a - b) & 0 \\ 0 & b - a & 0 \\ (a + 1)(b + 1) & 2(a + 1)(b - a) & a + 1 \end{pmatrix}$$

donde $a$ es la segunda cifra por la derecha del identificador IDP, y $b \in \mathbb{R}$ es un parámetro real tal que $b \neq -1$ y $b \neq a$.

a)

Halla el polinomio característico de $f$, el valor propio asociado al vector propio $w = (0,0,1)$ y determina un vector propio $u$ asociado al valor propio $a - b$.

b)

Justificando a partir del hecho de que $v = (-1, 1, a + 1)$ es un vector propio de $f$, demuestra que $B = \{u, v, w\}$ constituye una base de $\mathbb{R}^3$ y escribe la matriz $M(f|B, B)$ asociada a $f$ en dicha base.

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