Pregunta 4 · Álgebra UOC 2023

Tema: Valores y vectores propios. Diagonalización · Del examen Examen final de Álgebra - Julio 2023 (2023)

Enunciado

Pregunta 4 (2,5 puntos). Diagonalización y matriz asociada a una aplicación lineal

Sea f:R3→R3f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 un endomorfismo cuya matriz en la base canónica CC es:

M(f∣C,C)=(a−b2(a−b)00b−a0(a+1)(b+1)2(a+1)(b−a)a+1)M(f|C,C) = \begin{pmatrix} a - b & 2(a - b) & 0 \\ 0 & b - a & 0 \\ (a + 1)(b + 1) & 2(a + 1)(b - a) & a + 1 \end{pmatrix}

donde aa es la segunda cifra por la derecha del identificador IDP, y b∈Rb \in \mathbb{R} es un parámetro real tal que b≠−1b \neq -1 y b≠ab \neq a.

a)

Halla el polinomio característico de ff, el valor propio asociado al vector propio w=(0,0,1)w = (0,0,1) y determina un vector propio uu asociado al valor propio a−ba - b.

b)

Justificando a partir del hecho de que v=(−1,1,a+1)v = (-1, 1, a + 1) es un vector propio de ff, demuestra que B={u,v,w}B = \{u, v, w\} constituye una base de R3\mathbb{R}^3 y escribe la matriz M(f∣B,B)M(f|B, B) asociada a ff en dicha base.

(

)

Enunciado: Pregunta 4 · Álgebra UOC 2023

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

Halla el polinomio característico de f

Solución: p(λ)=((a−b)−λ)((b−a)−λ)((a+1)−λ)p(\lambda) = ((a - b) - \lambda)((b - a) - \lambda)((a + 1) - \lambda)

el valor propio asociado al vector propio w = (0,0,1)

Solución: a+1a + 1

determina un vector propio u asociado al valor propio a - b

Solución: (1,0,−(a+1))(1, 0, -(a + 1)) / (1,0,−a−1)(1, 0, -a - 1)

Justificando a partir del hecho de que v = (-1, 1, a + 1) es un vector propio de f, demuestra que B = {u, v, w} constituye una base de R^3

Solución: Comprobamos que vv tiene autovalor b−ab - a. Si b−a≠a+1b - a \neq a + 1, los tres autovalores son distintos y sus autovectores linealmente independientes. Si b−a=a+1b - a = a + 1, el determinante de la matriz con columnas u,v,wu, v, w es 1 para todo aa, por lo que siempre son independientes.

escribe la matriz M(f|B, B) asociada a f en dicha base

Solución: (a−b000b−a000a+1)\begin{pmatrix} a - b & 0 & 0 \\ 0 & b - a & 0 \\ 0 & 0 & a + 1 \end{pmatrix}

Matriz diagonal M(f∣B,B)M(f|B, B) asociada a la base BB: fila 1, columna 2

Solución: 0

Matriz diagonal M(f∣B,B)M(f|B, B) asociada a la base BB: fila 1, columna 3

Solución: 0

Matriz diagonal M(f∣B,B)M(f|B, B) asociada a la base BB: fila 2, columna 1

Solución: 0

Matriz diagonal M(f∣B,B)M(f|B, B) asociada a la base BB: fila 2, columna 2

Solución: b - a

Matriz diagonal M(f∣B,B)M(f|B, B) asociada a la base BB: fila 2, columna 3

Solución: 0

Matriz diagonal M(f∣B,B)M(f|B, B) asociada a la base BB: fila 3, columna 1

Solución: 0

Matriz diagonal M(f∣B,B)M(f|B, B) asociada a la base BB: fila 3, columna 2

Solución: 0

Matriz diagonal M(f∣B,B)M(f|B, B) asociada a la base BB: fila 3, columna 3

Solución: a + 1

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