Pregunta 2 · Álgebra UOC 2023

Tema: Geometría en R²/R³: rectas, planos y posiciones relativas · Del examen Examen final de Álgebra - Julio 2023 (2023)

Enunciado

Dados los tres planos dependientes de los parámetros m,k∈Rm, k \in \mathbb{R} y de la constante aa (a∈{0,1,…,9}a \in \{0, 1, \dots, 9\}):

π1:(a+1)x+my+z=a\pi_1: (a + 1)x + my + z = a

π2:(2a+2)x+ky−z=−m\pi_2: (2a + 2)x + ky - z = -m

π3:(a+1)x−y+z=k\pi_3: (a + 1)x - y + z = k

a.

Determina de forma justificada la posición relativa de los tres planos según los distintos valores de mm y kk.

b.

Determina qué punto comparten los tres planos cuando m=2m = 2 y k=1k = 1. Expresa las coordenadas en función de la constante aa.

Enunciado: Pregunta 2 · Álgebra UOC 2023

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Determina de forma justificada la posición relativa de los tres planos según los distintos valores de mm y kk.

Solución: Si m≠−1m \neq -1: compatibles determinados (se cortan en un único punto). Si m=−1m = -1 y k≠ak \neq a: sistema incompatible. Si m=−1m = -1 y k=ak = a: compatible indeterminado (se cortan en una recta).

b. Coordenada xx del punto común para m=2m=2 y k=1k=1:

Solución: −13(a+1)-\frac{1}{3(a+1)}

b. Coordenada yy del punto común para m=2m=2 y k=1k=1:

Solución: a−13\frac{a-1}{3}

b. Coordenada zz del punto común para m=2m=2 y k=1k=1:

Solución: a+33\frac{a+3}{3}

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