Examen de Matemàtiques Ii UB 2021 · Reavaluació

Pregunta 1 (0,5 punts). Òptims gràfics condicionats per igualtat

Sigui el problema d'optimització amb restricció d'igualtat:

$\begin{aligned}

\text{Opt. } & z = f(x, y) \\

\text{s.a. } & g(x, y) = b

\end{aligned}$

A la figura es mostra el conjunt admissible determinat per la circumferència $g(x, y) = b$ juntament amb algunes de les corbes de nivell de la funció objectiu associades als nivells $k = -2, -1, 0, 1, 2$ (que són paràboles):

A partir d'aquestes dades, es pot assegurar que el valor mínim condicionat s'assoleix a:

.

Considereu el problema d'optimització condicionada següent:

$$\begin{aligned}\text{Opt.}\quad & f(x, y, z) = -4x^2 + 2y^2 - \frac{z^2}{3} + 24x \\\text{s.a.}\quad & z + 3y = -2\end{aligned}$$

Indiqueu quina de les següents afirmacions sobre els punts crítics és la correcta:

Considereu el problema d'optimització condicionada següent:

$$\begin{aligned}\text{Opt.}\quad & f(x, y, z) = -4x^2 + 2y^2 - \frac{z^2}{3} + 24x \\\text{s.a.}\quad & z + 3y = -2\end{aligned}$$

Pregunta 3 (0,5 punts). Classificació del punt crític

Fent referència al mateix problema de la pregunta anterior, quina afirmació és correcta sobre el caràcter del punt crític obtingut?

Sigui el problema d'optimització condicionada:$$\begin{aligned}\text{Opt.} & \quad f(x, y) = 8x - y + 6 \\\text{s.a.} & \quad x^2 + y^2 = 1625\end{aligned}$$Resolt mitjançant la funció de Lagrange $L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda(x^2 + y^2 - 1625)$.

Resolt mitjançant la funció de Lagrange $L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda(x^2 + y^2 - 1625)$, podem afirmar que al punt $(x, y) = (40, -5)$ aquest problema:

.

Sigui el problema d'optimització condicionada:$$\begin{aligned}\text{Opt.} & \quad f(x, y) = 8x - y + 6 \\\text{s.a.} & \quad x^2 + y^2 = 1625\end{aligned}$$Resolt mitjançant la funció de Lagrange $L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda(x^2 + y^2 - 1625)$.

Considerant el mateix problema de la pregunta anterior, si el terme independent de la restricció passés a ser $x^2 + y^2 = 1725$, el valor MÍNIM del problema:

.

Pregunta 6 (0,5 punts). Plantejament de programació lineal

Una empresa farmacèutica empaqueta vacunes en dos tipus de palets isotèrmics: tipus A i tipus B. Actualment disposa de 100 palets de tipus A i 100 palets de tipus B preparats per distribuir. Cada palet de tipus A pesa 100 kg, té un volum de 30 dm³ i un valor de 7500 euros, mentre que cada palet de tipus B pesa 200 kg, té un volum de 40 dm³ i un valor de 12500 euros.

El transport es fa amb un únic camió que admet una càrrega màxima de 10000 kg i un volum màxim de 2400 dm³. A més, per restriccions logístiques, la quantitat de palets del tipus A no pot superar el doble de palets del tipus B.

Si $x$ representa el nombre de palets de tipus A i $y$ el de tipus B carregats al camió, quin és el sistema de restriccions que defineix el conjunt factible?

En resoldre un problema de Programació Lineal amb el complement Solver d'Excel s'obté el següent informe de sensibilitat:

Variables

Nom · Valor Final · Cost Reduït · F. Objectiu coeficient · Permès Augmentar · Permès Reduir

variable x · 100 · 0 · 10 · 2 · 10

variable y · 700 · 0 · 12 · 78 · 2

variable z · 200 · 0 · 30 · $\infty$ · 19

Restriccions

Nom · Valor Final · Preu Ombra · Restricció costat dret · Permès Augmentar · Permès Reduir

1a restricció · 1000 · 10 · 1000 · 20 · 100

2a restricció · 180 · 83 · 180 · 24 · 24

3a restricció · 100 · 39 · 100 · 15 · 10

4a restricció · 245 · 0 · 250 · $\infty$ · 5

A partir d'aquestes taules, si es disminueix en 10 unitats el terme independent de la segona restricció, el valor de la funció objectiu al nou òptim:

En resoldre un problema de Programació Lineal amb el complement Solver d'Excel s'obté el següent informe de sensibilitat:

Variables

Nom · Valor Final · Cost Reduït · F. Objectiu coeficient · Permès Augmentar · Permès Reduir

variable x · 100 · 0 · 10 · 2 · 10

variable y · 700 · 0 · 12 · 78 · 2

variable z · 200 · 0 · 30 · $\infty$ · 19

Restriccions

Nom · Valor Final · Preu Ombra · Restricció costat dret · Permès Augmentar · Permès Reduir

1a restricció · 1000 · 10 · 1000 · 20 · 100

2a restricció · 180 · 83 · 180 · 24 · 24

3a restricció · 100 · 39 · 100 · 15 · 10

4a restricció · 245 · 0 · 250 · $\infty$ · 5

Tenint en compte la mateixa taula de sensibilitat de la pregunta 7, quina de les següents afirmacions és correcta?

Pregunta 9 (0,5 punts). Extrems de programació no lineal

Considereu el problema de Programació No Lineal següent:

$\begin{aligned}

\text{Opt. } & f(x, y) = x^2 + y^2 \\

\text{s.a. } & \begin{cases}

-1 \le x \le 1 \\

-1 \le y \le 1

\end{cases}

\end{aligned}$

Quina afirmació és correcta sobre els seus òptims?

Pregunta 10 (0,5 punts). Determinació de funció objectiu

Sigui el problema de Programació No Lineal:

$\begin{array}{ll}

\text{Mín.} & f(x, y) \\[4pt]

\text{s.a.} & \begin{cases}

x + y \le 10 \\

x \ge 0 \\

y \ge 0

\end{cases}

\end{array}$

Quina de les funcions objectiu següents fa que aquest problema tingui un mínim al punt $(10, 0)$?

La integral indefinida $\int \frac{x^2}{2x^3+3} \, dx$ és igual a:

Si a la integral $\int \frac{x^2}{\sqrt{1+x}} \, dx$ s'hi aplica el canvi de variable definit per $t^2 = 1 + x$, s'obté la integral:

El valor numèric de l'àrea de la regió del pla delimitada per la gràfica de la funció $f(x) = x^2 - x$ i l'eix d'abscisses entre $x = -1$ i $x = 1$ és:

El valor del paràmetre $a > 0$ que satisfà l'equació $\int_1^a (x + 1) \, dx = 16$ és:

Pregunta 15 (0,5 punts). Aplicació econòmica d'integració

Si la funció de cost marginal d'un producte (expressada en euros per unitat produïda) és $CMg(x) = 6x - 3$, on $x$ és el nombre d'unitats produïdes, quin és l'increment del cost total en passar la producció de 30 a 35 unitats?

Pregunta 16 (0,5 punts). EDO separable de primer ordre

La solució general de l'equació diferencial $y' = \frac{x+1}{y}$ verifica:

Pregunta 17 (0,5 punts). EDO lineal de primer ordre

Donada l'equació diferencial lineal $y' - \cos(x) \cdot y = \frac{1}{x} e^{\sin(x)}$, la seva solució general és:

Pregunta 18 (0,5 punts). Problema de valor inicial EDO

La solució particular de l'equació diferencial $y' - (x + 1)y = 0$ que passa pel punt $(0, 3)$ és:

Es considera que la demanda i l'oferta d'un bé canvien contínuament en funció del preu segons les funcions $D(t) = 300 - P(t)$ i $S(t) = 3P(t) - 60$. L'ajust del preu segueix l'equació diferencial associada a 3 vegades l'excés de demanda:

$$\frac{dP(t)}{dt} = 3\,(D(t) - S(t))$$

Pregunta 19 (0,5 punts). Model dinàmic de preus EDO

Es considera que la demanda i l'oferta d'un bé canvien contínuament en funció del preu segons les funcions $D(t) = 300 - P(t)$ i $S(t) = 3P(t) - 60$. L'ajust del preu segueix l'equació diferencial associada a 3 vegades l'excés de demanda:

$$\frac{dP(t)}{dt} = 3\,(D(t) - S(t))$$

La trajectòria temporal del preu $P(t)$, obtinguda com a solució general, és:

Es considera que la demanda i l'oferta d'un bé canvien contínuament en funció del preu segons les funcions $D(t) = 300 - P(t)$ i $S(t) = 3P(t) - 60$. L'ajust del preu segueix l'equació diferencial associada a 3 vegades l'excés de demanda:

$$\frac{dP(t)}{dt} = 3\,(D(t) - S(t))$$

Pregunta 20 (0,5 punts). Trajectòria temporal del preu

Tenint en compte el mateix model de la pregunta anterior, quina és la solució particular de la trajectòria del preu si el preu inicial a l'instant $t = 0$ és de $100\ \text{€}$?

.