Examen de Matemàtiques Ii UB 2021 · Juny

Pregunta 1 [0,5 punts]. Punts crítics en optimització condicionada

Considereu el problema d'optimització condicionada següent:

$\begin{array}{rl}

\text{Opt.} & f(x, y, z) = x^3 + y^2 + z \\

\text{s.a.} & 3x + 2y + z = 1

\end{array}$

Indiqueu quina de les següents afirmacions és correcta:

Donat el problema d'extremació amb restricció d'igualtat:

\[\begin{aligned} \text{Opt.} & \quad f(x, y, z) = x + 2y - z \\ \text{s.a.} & \quad x^2 + 2y^2 + z^2 = 2 \end{aligned}\]

mitjançant la funció de Lagrange $L(x, y, z, \lambda) = x + 2y - z - \lambda(x^2 + 2y^2 + z^2 - 2)$, els punts crítics i els seus respectius multiplicadors són:

Tenint en compte el problema anterior, la matriu hessiana de la funció de Lagrange respecte a les variables $x, y, z$ és:

Respecte al punt crític $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ del problema anterior, es pot afirmar que:

Pregunta 5 [0,5 punts]. Interpretació econòmica del multiplicador

En un problema d'optimització amb la restricció $2x^2y + yz = 5$, s'ha considerat la funció de Lagrange:

$$L(x, y, z, \lambda) = f(x, y, z) - \lambda(2x^2y + yz - 5)$$

Se sap que en el punt $(1, 1, 3)$ el problema assoleix un mínim i el valor del multiplicador de Lagrange associat és $\lambda = -4$. Si es modifica el terme independent de la restricció passant a $2x^2y + yz = 5{,}1$, aplicant la interpretació del multiplicador de Lagrange podem afirmar que el valor de la funció objectiu en el nou mínim:

Pregunta 6 [0,5 punts]. Programació lineal amb infinites solucions

Donat el problema de programació lineal següent:

$$\begin{aligned} \text{Màx.} \quad & f(x,y) \\ \text{s.a.} \quad & \begin{cases} 2x + y \le 200 \\ x + y \le 150 \\ x, y \ge 0 \end{cases} \end{aligned}$$

Podem afirmar que el problema té infinites solucions quan la funció objectiu és:

Pregunta 7 [0,5 punts]. Programació no lineal geomètrica

Considereu el problema de programació no lineal:

$$\begin{aligned} \text{Opt.} \quad & f(x,y) = x^2 + (y-4)^2 \\ \text{s.a.} \quad & \begin{cases} y \le 4 \\ y \ge x^2 + 1 \end{cases} \end{aligned}$$

Podem afirmar que el problema assoleix:

Pregunta 8 (0,5 punts). Sensibilitat i preu ombra en Solver

En resoldre un problema d'optimització mitjançant el complement Solver de l'Excel, s'ha obtingut el següent informe de sensibilitat per a les restriccions:

Nom

Valor Final

Preu Ombra

Restricció costat dret

Permès Augmentar

Permès Reduir

1a restricció

320

40

320

280

80

2a restricció

30

180

30

10

30

3a restricció

50

0

120

∞

70

Si variem el terme independent de la primera restricció de 320 a 300, aleshores podem afirmar que el valor de la funció objectiu en el nou òptim:

.

Pregunta 9 (0,5 punts). Modelització de programació lineal

Una empresa es dedica a la fabricació de dos tipus de bicicletes, A i B, en dos tallers, T1 i T2. Cadascun dels tallers disposa d'una capacitat màxima diària de 100 hores de treball. Per produir una bicicleta de tipus A es necessiten 3 hores al taller T1 i 1 hora al taller T2. Cada bicicleta de tipus B requereix 1 hora al taller T1 i 2 hores al taller T2. Cada unitat venuda del tipus A genera un benefici de 100 €, mentre que cada unitat del tipus B genera un benefici de 150 €.

Si $x$ representa el nombre de bicicletes de tipus A i $y$ el nombre de bicicletes de tipus B produïdes diàriament, el model de programació lineal per maximitzar el benefici diari és:

10 Pregunta 10 (0,5 punts). Resolució òptima del model lineal

Tenint en compte el problema de les bicicletes definit a la pregunta anterior, quina és la combinació de producció diària que maximitza els beneficis complint totes les restriccions?

.

Pregunta 11 (0,5 punts). Càlcul d'integral indefinida immediata

La integral indefinida $\int \frac{x}{\sqrt{3x^2+1}}\,dx$ és igual a:

.

Pregunta 12 (0,5 punts). Integració per parts

La integral indefinida $\int (2x + 3)e^{-x}\,dx$ és igual a:

.

Pregunta 13 (0,5 punts). Integració per canvi de variable

Donada la integral $\int \frac{e^x(e^x-1)}{e^x+1}\,dx$, si s'aplica el canvi de variable definit per $e^x = t$, s'obté la nova integral:

.

Pregunta 14 [0,5 punts]. Àrea entre dues corbes i paràmetre

El valor del paràmetre $a > 0$ que fa que el valor numèric de l'àrea de la regió del pla compresa i delimitada entre les gràfiques de $f(x) = x^2 + x$ i $g(x) = x + a^2$ sigui igual a $36$ és:

El valor del paràmetre $a > 0$ que satisfà l'equació $\int_{1}^{a} \frac{1}{x^2} \, dx = \frac{2}{3}$ és:

La funció de costos marginals d'una empresa (en euros) ve donada per $CM(q) = -\frac{1}{10}q + 200$ i la d'ingressos marginals per $IM(q) = 400 - \frac{1}{2}q$, on $q$ representa el nombre d'unitats produïdes i venudes. Si se sap que quan no hi ha producció ($q = 0$) l'empresa pateix unes pèrdues de $400$ euros ($B(0) = -400$), quin és el benefici obtingut en fabricar i vendre $10$ unitats?

La solució general de l'equació diferencial $y \cdot \sin(x + 3) \, dx - dy = 0$ és:

Considereu l'equació diferencial lineal de primer ordre:

$$y' + 2y = \frac{3}{e^{5x}}$$

La seva solució general és:

Pregunta 19 (0,5 punts). Solució particular de problema de Cauchy

Tenint en compte l'equació diferencial anterior, la solució particular que compleix la condició inicial $y(0) = 8$ és:

Pregunta 20 (0,5 punts). Model continu d'ajust del preu de mercat

La taxa de variació del preu $P = P(t)$ d'un bé ve determinada per l'equació diferencial $\frac{dP}{dt} = 0,8(D - S)$, on la demanda és $D = 27 - 1,5P$ i l'oferta és $S = P - 123$. L'expressió general del preu $P(t)$ al llarg del temps és: