Examen de Matemàtiques Ii UB 2021 · Avaluació Continuada Bloc 2: Integració i Equacions Diferencials

Exercici 1 (2 punts). Càlcul d'integrals indefinides

Resoleu cadascuna de les següents integrals indefinides, especificant detalladament tots els passos:

a)

$\int 5x \cdot \cos(5x)\,dx$

b)

$\int \frac{x^3 - 2x^2 - 3x - 3}{x + 1}\,dx$

Exercici 2 (1 punt). Canvi de variable en una integral

En aplicar la transformació de variable $t = 3 + e^x$ a la integral $\int \frac{e^{2x}}{3 + e^x}\,dx$, aquesta es transforma en una integral expressada en la variable $t$ de la forma $\int f(t)\,dt$. Deduïu de forma justificada quina és l'expressió analítica de la funció $f(t)$ (no és necessari calcular la primitiva resultant).

Exercici 3 (1 punt). Determinació d'un paràmetre mitjançant integral definida

Trobeu de manera justificada el valor de la constant positiva $a > 0$ per a la qual es compleix la igualtat:

$$\int_1^3 (ax^2 + 2)\,dx = 30$$

Exercici 4 (1 punt). Àrea delimitada entre dues corbes

Determineu l'àrea de la regió del pla compresa entre les gràfiques de les funcions $f(x) = x^3 + 4x^2$ i $g(x) = -3x^2 - 6x$, descrivint tots els passos i càlculs requerits.

Exercici 5 (1 punt). EDO de variables separables

Trobeu, mostrant detalladament el procés i els càlculs, la solució general de la següent equació diferencial ordinària:

$$x^2 \cdot y' = \frac{x^5 + 4x}{y}$$

Exercici 6 (2 punts). EDO lineal de primer ordre

Determineu la solució general de l'equació diferencial ordinària lineal de primer ordre indicada tot seguit, desglossant cadascun dels càlculs:

$$y' - 2xy = xe^{x^2}$$

1.

2.

Exercici 7 (2 punts). Model econòmic d'ajust del preu

En un mercat es considera que la demanda i l'oferta d'un cert article evolucionen de forma contínua al llarg del temps en funció del preu $p$, d'acord amb les funcions:

$$D(p) = 170 - 3p \quad \text{i} \quad S(p) = 2p - 50$$

La dinàmica d'ajust del preu segueix l'equació diferencial segons la qual la taxa de variació és proporcional al doble de l'excés de demanda: $\frac{dp}{dt} = 2(D - S)$.

a.

Determineu la solució general de l'EDO que descriu l'evolució del preu al llarg del temps.

b.

Trobeu la solució particular suposant que el preu inicial en $t = 0$ és de 15 €, és a dir, $p(0) = 15$.