Examen de Matemàtiques Ii UB 2021 · Avaluació Continuada: Bloc II (Temes 3 i 4) - Maig de 2021

Pregunta 1 (2 punts). Integrals indefinides

Calculeu les següents primitives indicant tots els passos necessaris (0,5 punts cada apartat):

a.

$$\int \frac{\sqrt[3]{x}}{7x}\,dx$$

b.

$$\int \frac{(1 + \sqrt{x})^2}{\sqrt{x}}\,dx$$

(es suggereix utilitzar el canvi de variable $t = \sqrt{x}$)

c.

$$\int (x - 2)\ln(x)\,dx$$

d.

$$\int \frac{x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 5x + 2}{x + 2}\,dx$$

Pregunta 2 (1 punt). Càlcul de paràmetre en integral definida

Determineu el valor del paràmetre $a$ per al qual es compleix la igualtat següent:

$$\int_1^a e\cdot \ln(x)\,dx = e$$

Pregunta 3 (1,5 punts). Expressió de l'àrea delimitada per una funció a trossos

Considereu la funció definida a trossos:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 - 8x + 12 & \text{si } 1 \le x \le 6 \\ x - 6 & \text{si } 6 < x \le 10 \end{cases}$$

Trobeu l' expressió que permet calcular l'àrea compresa entre la gràfica de $f(x)$ i l'eix d'abscisses en el domini $[1, 10]$. (Només cal plantejar l'expressió amb integrals definides, no cal calcular el valor numèric final).

Pregunta 4 (1,5 punts). Benefici total a partir del benefici marginal

La funció de benefici marginal d'una empresa en funció del volum de producció i vendes $x$ ve donada per:

$$B'(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$$

(expressada en milers d'euros). Sabent que si no es produeix cap unitat el benefici és nul ($B(0) = 0\text{ €}$), quin serà el benefici total generat (en milers d'euros) en produir 3 unitats?

milers d'euros

Pregunta 5 (2 punts). Equacions diferencials ordinàries

Trobeu la solució general de les següents equacions diferencials ordinàries (1 punt cadascuna):

a.

$$xy' - x^2 y = x\cdot e^{x^2/2}$$

b.

$$y' = e^{3x+2y}$$

Pregunta 6 (2 punts). Model d'evolució del preu de mercat

Assumim que el preu $p(t)$ d'un producte varia en el temps amb una velocitat o taxa de variació $\frac{dp(t)}{dt}$ proporcional a l'excés de demanda, modelitzat mitjançant l'equació diferencial:

$$\frac{dp(t)}{dt} = k(D(t) - S(t))$$

on les funcions de demanda i oferta són, respectivament, $D(t) = 7 - p(t)$ i $S(t) = 1 + p(t)$.

a.

(1 punt) Calculeu la solució general de l'equació diferencial donada.

b.

(0,5 punts) Si en el moment inicial ($t = 0$) el preu és de 6 € i per a $t = 4$ el preu és de 4 €, determineu la solució particular corresponent.

c.

(0,5 punts) Demostreu que a llarg termini (quan el temps $t$ es fa infinitament gran), el preu s'aproxima al preu d'equilibri de mercat.

$p_e = \lim_{t \to +\infty} p(t) =$ €