Examen de Estadística I URV 2021 · Recull d'exàmens de segon parcial i recuperació

Pregunta 1. Probabilitat de xecs sense fons

Se sap que la probabilitat que una entitat bancària rebi un xec sense fons és de 0,01. Responeu a les qüestions següents:

a.

Si en el transcurs d'una hora s'arriben a rebre 20 xecs, calculeu la probabilitat que n'hi hagi com a mínim un sense fons.

b.

Suposant que l'import mitjà d'aquests xecs impagats és de 600 €, determineu quina quantitat monetària s'espera deixar de cobrar en una hora qualsevol.

c.

De 1.000 xecs rebuts, quina és la probabilitat que el nombre de xecs sense fons estigui comprès estrictament entre 6 i 12?

Pregunta 2. Sol·licituds universitàries i beques

Una universitat rep 1.000 sol·licituds d'ingrés, de les quals admet el 10%. D'altra banda, un 5% dels estudiants admesos disposen de beca acadèmica, mentre que entre els no admesos, el 2% gaudeix de beca acadèmica.

a.

Si se selecciona a l'atzar un estudiant sol·licitant, quina probabilitat hi ha que hagi estat admès i gaudeixi de beca?

b.

Quina és la probabilitat que un estudiant triat a l'atzar no hagi estat acceptat però sí que disposi de beca?

c.

Trieu un aspirant a l'atzar: quina probabilitat hi ha que disposi de beca?

Pregunta 3. Interval de confiança per a l'actiu corrent

Es disposa d'informació financera corresponent a l'exercici 2017 d'un conjunt de 935 empreses de distribució extreta de SABI. La variable d'interès, perc_Actiu_Corrent, mesura en tant per u la proporció que representa l'actiu corrent sobre l'actiu total.

> numSummary(perc_Actiu_Corrent)

mean sd IQR 0% 25% 50% 75% 100% n

0.57883 0.23930 0.39435 0.046033 0.39089 0.58291 0.78525 1 935 a.

Argumenteu si es compleixen les condicions necessàries per construir un interval de confiança per a la mitjana poblacional d'aquesta variable.

b.

Calculeu l'interval de confiança al 99% per a la mitjana a partir dels resultats numèrics proporcionats.

c.

Interpreteu el resultat obtingut.

Pregunta 4. ANOVA de l'actiu corrent segons l'activitat

A partir de la mateixa base de dades de 935 empreses de distribució, es vol analitzar com varia la proporció d'actiu corrent ( perc_Actiu_Corrent) segons el tipus d'activitat ( Codi_activitat): Ali_Beg_Tab (Aliments, Begudes i Tabac), Alt (Altres), Benzin (Benzineres), Equip_Llar (Equipament de la llar), General (Distribució general), Lleu_Cult (Lleure i Cultura), TIC i Vest_Cal (Vestit i Calçat).

> numSummary(perc_Actiu_Corrent, groups=Codi_activitat, statistics=c("mean","sd"))

mean sd data:n

Ali_Beg_Tab 0.4537758 0.2480796 129

Alt 0.5867148 0.2372498 185

Benzin 0.5042317 0.2758146 45

Equip_Llar 0.7015278 0.2055121 156

General 0.5023710 0.2214281 166

Lleu_Cult 0.6309410 0.1979004 57

TIC 0.6791101 0.2219548 65

Vest_Cal 0.5946920 0.2045843 132

> Anova1 <- aov(perc_Actiu_Corrent ~ Codi_activitat)

> summary(Anova1)

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

Codi_activitat 7 6.44 0.9200 18.13 <2e-16 ***

Residuals 927 47.05 0.0508 a)

Calculeu la mesura d'associació oportuna i interpreteu el seu valor.

b)

Quins sectors o tipus d'activitat presenten els nivells mitjans més alts i més baixos d'actiu corrent?

Pregunta 5. Taula de contingència entre solvència i mida d'empresa

A la mateixa mostra de 935 empreses s'analitza la variable binària solvent_a_ct (TRUE si l'actiu corrent és superior al passiu corrent; FALSE altrament) creuada amb la tipologia d'empresa PIME (SÍ per a petites i mitjanes empreses; NO per a grans empreses).

a)

Quin percentatge de les grans empreses són solvents a curt termini? I quin percentatge de les empreses petites ho són?

b)

Quin percentatge de les empreses que són solvents a curt termini corresponen a grans empreses?

c)

Obtingueu el coeficient V de Cramér i comenteu-ne el resultat.

Exercici 1 [2,5 punts]. Contrast sobre el pes de paquets de carbó

Un establiment comercial ven paquets de carbó vegetal per a barbacoes en el paquet dels quals s'especifica un pes net de 10 kg. Amb l'objectiu de contrastar aquesta afirmació, s'extreu mitjançant mostreig aleatori simple una mostra de 80 paquets, obtenint-se una mitjana de 9,8 kg i una desviació típica mostral de 0,7 kg.

a)

Formuleu les hipòtesis nul·la i alternativa necessàries per avaluar la dada de l'embalatge. [0,25 punts]

b)

Comproveu el compliment dels supòsits necessaris per a la validesa del contrast d'hipòtesis. [0,5 punts]

c)

Executeu el contrast fent servir l'estadístic de prova i el valor crític, fixant un nivell de significació del 5%. Indiqueu amb precisió l'estadístic emprat i la seva distribució sota la hipòtesi nul·la. [1 punt]

d)

És compatible l'interval de confiança al 95% per al pes mitjà amb la decisió adoptada en el contrast? Calculeu l'interval i justifiqueu la resposta. [0,75 punts]

Exercici 2 (2,5 punts). Diferència d'edat segons l'esport practicat

A partir d'una enquesta administrada a una mostra de 767 individus per part de l'Associació Nacional de l'Esport, s'analitza l'edat dels participants segons l'activitat que practiquen (Ciclisme, Aeròbic, Caminar o Natació), adoptant un nivell de significació $\alpha = 5\%$.

> boxplot(edat~Esport)

> numSummary(edat, groups=Esport, statistics=c("mean","sd"))

mean sd data:n

Ciclisme 33.25455 9.300967 165

Aeròbic 36.13253 8.859538 166

Caminar 56.33133 15.951589 166

Natació 40.53160 13.373646 269

> leveneTest(edat, Esport, center=median)

Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)

Df F value Pr(>F)

group 3 26.881 < 2.2e-16 ***

762

> Anova1 <- aov(edat ~ Esport)

> summary(Anova1)

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

Esport 3 52764 17588 <2e-16 ***

Residuals 762 117056 154

> oneway.test(edat ~ Esport)

One-way analysis of means (not assuming equal variances)

data: edat and Esport

F = 92.343, num df = 3.00, denom df = 399.36, p-value < 2.2e-16

a)

Formuleu les hipòtesis nul·la i alternativa del contrast d'igualtat de mitjanes. [0,5 punts]

b)

Calculeu a mà el valor de l'estadístic F de Fisher d'ANOVA. [0,5 punts]

c)

Enumereu i verifiqueu si es compleixen les condicions d'aplicació per a aquesta anàlisi. [0,5 punts]

d)

Ateses les conclusions de l'apartat previ, resoleu el contrast adient a partir de les dades obtingudes. [0,5 punts]

e)

Interpreteu a escala poblacional la relació existent entre l'edat i la modalitat esportiva mitjançant la informació més convenient. [0,5 punts]

Exercici 3 (2,5 punts). Estimació del model de satisfacció del client

A partir d'una enquesta a 244 clients del servei postal de l'Illa de Man (basada en el model European Customer Satisfaction Index, ECSI), es mesuren en una escala d'1 a 10 les variables: qualitat del producte ( QUAL1), qualitat del servei ( QUAL2), valor percebut pel preu pagat ( VALU), imatge corporativa ( IMAG), satisfacció global ( SATI) i fidelitat ( LOYA).

Gràfics de dispersió de la satisfacció ( SATI) enfront de les altres dimensions:

a)

Atesos els gràfics de dispersió, valoreu si cal aplicar alguna transformació logarítmica i especifiqueu el model de regressió poblacional a estimar per explicar la satisfacció. [0,5 punts]

b)

L'equip investigador estima el model de regressió móltiple model2a. Completeu els camps ocults amb requadres negres de la sortida. [0,5 punts]

c)

El model és globalment significatiu? Formuleu les hipòtesis, resoleu el contrast pel mètode del p-valor i preneu una decisió amb un risc del 10%. [0,25 punts]

d)

Podem concloure que la variable QUAL2 és estadísticament significativa? Plantegi el contrast d'hipòtesis, calculi l'estadístic de prova i resolgui el contrast al 95% de confiança de dues formes: mitjançant el valor crític i mitjançant el p-valor. [0,5 punts]

e)

Indiqueu el valor de la bondat d'ajustament i interpreteu-lo. [0,25 punts]

f)

Interpreteu en el context de l'estudi el coeficient associat al paràmetre QUAL1. [0,5 punts]

Exercici 4 (2,5 punts). Diagnòstic de multicol·linealitat i selecció per a la satisfacció

Continuant amb les dades de satisfacció (SATI), s'estimen diversos models alternatius i es disposa de la matriu de correlacions, dels factors d'inflació de la variància (VIF) i de taules d'anàlisi de la variància per comparar especificacions enniades:

> model2c <- lm(SATI ~ QUAL1 + IMAG + VALU)

> summary(model2c)

Call:

lm(formula = SATI ~ QUAL1 + IMAG + VALU)

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-2.8235 -0.4674 0.0629 0.4950 2.6161

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 0.85354 0.26319 3.243 0.00135 **

QUAL1 0.42191 0.04792 8.804 2.67e-16 ***

IMAG 0.28928 0.05003 5.782 2.29e-08 ***

VALU 0.18314 0.04430 4.134 4.92e-05 ***

---

Signif. codes: 0 '*' 0.001 '' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.7669 on 240 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.7708, Adjusted R-squared: 0.7679

F-statistic: 269 on 3 and 240 DF, p-value: < 2.2e-16

> vif(model2c)

QUAL1 IMAG VALU

2.886296 2.658293 2.575841

> anova(model12b, model12a)

Analysis of Variance Table

Model 1: SATI ~ QUAL1 + IMAG

Model 2: SATI ~ QUAL1 + QUAL2 + IMAG + VALU

Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)

1 241 151.20

2 239 139.65 2 11.557 9.89 7.47e-05 ***

---

Signif. codes: 0 '*' 0.001 '' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

> anova(model12c, model12a)

Analysis of Variance Table

Model 1: SATI ~ QUAL1 + IMAG + VALU

Model 2: SATI ~ QUAL1 + QUAL2 + IMAG + VALU

Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)

1 240 141.15

2 239 139.65 1 1.5045 2.5749 0.1099

> anova(model12b, model12c)

Analysis of Variance Table

Model 1: SATI ~ QUAL1 + IMAG

Model 2: SATI ~ QUAL1 + IMAG + VALU

Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)

1 241 151.20

2 240 141.15 1 10.053 17.093 4.923e-05 ***

---

Signif. codes: 0 '*' 0.001 '' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

a)

Realitzeu el diagnòstic de multicol·linealitat per al model complet ( model2a) utilitzant totes les eines estadístiques disponibles. [0,75 punts]

b)

Detecteu algun error d'especificació al model2b ? En cas afirmatiu, anomeneu el problema i expliqueu les conseqüències sobre l'estimació dels coeficients. [0,75 punts]

c)

Decidiu mitjançant el contrast pertinent quin dels tres models ( model2a, model2b o model2c) és el millor. Formuleu les hipòtesis i resoleu el contrast mitjançant el p-valor amb un 95% de confiança. [1 punt]

Exercici 1 (2,5 punts). Contrast per a la proporció d'empreses sancionades

Els inspectors de treball van sancionar 33 empreses d'una mostra de 120 empreses seleccionades per mostreig aleatori simple per infraccions de la normativa de prevenció de riscos laborals. El Departament de Treball sosté que la proporció poblacional d'empreses infractores sancionades a la província és de 0,15.

a.

Determineu la proporció mostral d'empreses sancionades. [0,25 punts]

b.

Plantegeu les hipòtesis estadístiques adients per sotmetre a prova l'afirmació oficial. [0,25 punts]

c.

Comproveu el compliment de les assumpcions teòriques que permeten resoldre el contrast. [0,5 punts]

d.

Resoleu el contrast amb un nivell de significació del 5%. Indiqueu clarament l'estadístic de prova i la distribució sota la hipòtesi nul·la. [0,75 punts]

e.

Calculeu l'interval de confiança al 95% per a la proporció poblacional i raoneu si és congruent amb la decisió de la prova d'hipòtesis. [0,75 punts]

Límit inferior:

Límit superior:

Exercici 2 (2,5 punts). Anàlisi de la relació entre esport i sexe

A partir de la mostra de 766 participants de l'enquesta esportiva, es creua el sexe dels individus amb la modalitat que practiquen:

a.

Formuleu les hipòtesis nul·la i alternativa d'independència per a aquestes dues variables qualitatives. [0,25 punts]

b.

Indiqueu i comproveu les condicions d'aplicació del test khi-quadrat d'independència. [0,25 punts]

c.

Executeu el contrast pel mètode del valor crític amb un risc del 5%, especificant l'estadístic de prova i els seus graus de llibertat. [1 punt]

d.

Valoreu la força de la relació calculant la mesura d'associació pertinent. És una associació intensa? [0,5 punts]

e.

Interpreteu a partir de les freqüències relatives de la taula quines modalitats esportives s'associen més als homes i quines a les dones. [0,5 punts]

Exercici 3 (2,5 punts). Model de fidelització i anàlisi de residus

Amb les mateixes dades de l'enquesta ECSI, es pretén predir la fidelització dels usuaris ( LOYA) mitjançant el model de regressió múltiple model1a que incorpora la qualitat del producte ( QUAL1), la qualitat del servei ( QUAL2), el valor percebut ( VALU), la satisfacció ( SATI) i la imatge corporativa ( IMAG).

a.

Especifiqueu el model de regressió lineal teòric que s'ha estimat. [0,25 punts]

b.

S'adjunten diversos gràfics per dur a terme el diagnòstic de residus. Enumereu i avalueu cadascun dels supòsits bàsics del model lineal a partir d'aquests gràfics. [0,75 punts]

c.

El model és globalment significatiu? Indiqueu les hipòtesis i resoleu el contrast mitjançant el p-valor amb un risc de l'1%. [0,25 punts]

d.

Podem concloure que QUAL1 és estadísticament significativa? Formuleu les hipòtesis, calculeu l'estadístic de prova i resoleu el contrast pel valor crític al 90% de confiança. [0,5 punts]

e.

Calculeu el coeficient de determinació ajustat $\bar{R}^2$ i interpreteu-lo. [0,25 punts]

f.

Calculeu l'interval de confiança al 95% per al paràmetre associat a SATI i interpreteu el coeficient obtingut. [0,5 punts]

[

;

]

Exercici 4 (2,5 punts). Diagnòstic i comparació de models de fidelització

A partir del model inicial de fidelització ( model1a), es presenten la matriu de correlacions, els valors de VIF i una especificació reduïda anomenada model1b:

> cor(exercici_ecsi[,c("QUAL1","QUAL2","IMAG","VALU","SATI")])

QUAL1 QUAL2 IMAG VALU SATI

QUAL1 1.0000000 0.7688930 0.7539064 0.7446870 0.8346330

QUAL2 0.7688930 1.0000000 0.7312599 0.6659197 0.7343667

IMAG 0.7539064 0.7312599 1.0000000 0.7185771 0.7872128

VALU 0.7446870 0.6659197 0.7185771 1.0000000 0.7586731

SATI 0.8346330 0.7343667 0.7872128 0.7586731 1.0000000

> vif(model1a)

QUAL1 QUAL2 IMAG VALU SATI

4.275423 2.872994 3.250857 2.774197 4.409231

> model1b <- lm(LOYA ~ QUAL1 + IMAG + SATI)

> summary(model1b)

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 0.66574 0.42329 1.573 0.11709

QUAL1 0.16468 0.08413 1.957 0.05145.

IMAG 0.43097 0.08175 5.272 3.01e-07 ***

SATI 0.32527 0.09820 3.312 0.00107 **

---

Residual standard error: 1.208 on 240 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.5738, Adjusted R-squared: 0.5684

F-statistic: 107.7 on 3 and 240 DF, p-value: < 2.2e-16

> vif(model1b)

QUAL1 IMAG SATI

3.587941 2.862342 4.072209

> anova(model1b,model1a)

Analysis of Variance Table

Model 1: LOYA ~ QUAL1 + IMAG + SATI

Model 2: LOYA ~ QUAL1 + QUAL2 + IMAG + VALU + SATI

Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)

1 240 349.96

2 238 349.82 2 0.1436 0.9523

a)

Realitzeu el diagnòstic de multicol·linealitat per al model1a utilitzant totes les eines estadístiques al vostre abast. [0,75 punts]

b)

Detecteu algun problema d'especificació al model1a ? En cas afirmatiu, com s'hauria de resoldre i quines conseqüències té aquest defecte sobre les propietats dels estimadors? [0,75 punts]

c)

Al model1b s'han suprimit dues variables respecte al model1a. Decidiu mitjançant el contrast d'hipòtesis pertinent quin dels dos models és millor. Formuleu les hipòtesis, calculeu l'estadístic de prova i resoleu el contrast pel valor crític al 95% de confiança. [1 punt]

Exercici anterior (continuació). Contrast del model restringit

[Continuació de l'exercici anterior] A partir de l'estimació dels models competidors, es disposa dels coeficients de determinació del model complet ($R^2 = 0{,}5739$) i del model restringit ($R^{2*} = 0{,}5738$), havent-se imposat $q = 2$ restriccions sobre una mostra amb $n - k = 238$ graus de llibertat en el model no restringit. Decidiu, a un nivell de confiança del 95%, quin dels dos models és preferible.

a)

b)

Exercici 1. Anàlisi del rendiment de processadors (CPU)

Es compta amb informació procedent de l'estudi d'Ein-Dor i Feldmesser (1987) sobre una mostra de 209 unitats centrals de processament (CPU). Les variables mesurades són les següents:

RELRENDI: rendiment relatiu respecte al processador IBM 370/158-3.

CICLOTIM: temps de cicle en nanosegons / nombre de cicles per segon.

MINMEM: mida de la memòria principal mínima (en KB).

MAXMEM: capacitat màxima de memòria principal (en KB).

CACHE: capacitat de la memòria cau (en KB).

Es desitja investigar quins factors influeixen sobre el rendiment relatiu. Els resums numèrics i els gràfics de dispersió inicials són els següents:

a)

A la vista dels estadístics descriptius i els diagrames de dispersió, justifiqueu la conveniència d'aplicar una transformació logarítmica a les variables de l'estudi. Especifiqueu l'equació de regressió que es proposaria estimar.

b)

L'equip investigador estima inicialment el model lineal en nivells:

$$\text{RELRENDI}_i = \beta_1 + \beta_2\text{CICLOTIM}_i + \beta_3\text{MINMEM}_i + \beta_4\text{MAXMEM}_i + \beta_5\text{CACHE}_i + u_i$$

A partir dels gràfics de diagnòstic facilitats a continuació, analitzeu el compliment dels supòsits del model bàsic (linealitat, homocedasticitat, normalitat i presència d'observacions atípiques/influents). Si detecteu incompliments, indiqueu quines mesures caldria prendre.

c)

Es decideix posteriorment estimar el Model 2, transformant logarítmicament gran part de les variables:

$$\log(\text{RELRENDI})_i = \beta_1 + \beta_2\log(\text{CICLOTIM})_i + \beta_3\log(\text{MINMEM})_i + \beta_4\log(\text{MAXMEM})_i + \beta_5\text{CACHE}_i + u_i$$

Completeu els valors que han quedat ocults pels requadres negres a la sortida d'estimació del model:

d)

Indiqueu i interpreteu el coeficient que avalua la bondat de l'ajust del Model 2.

e)

Contrasteu la significació global del model i la significació individual de cadascun dels coeficients assumint un nivell de significació del 5%. Formuleu clarament la hipòtesi nul·la en cada situació.

f)

Interpreteu l'efecte que tenen les variables explicatives MINMEM i CACHE sobre el rendiment relatiu a partir dels intervals de confiança al 95% obtinguts per als paràmetres estimats.

Exercici 2. Model de regressió de la taxa de cotxes per càpita

Es disposa d'un conjunt de dades corresponents a 24 països amb les següents variables:

cotxes: nombre d'automòbils per habitant (per càpita).

pob: població de l'estat (en milions d'habitants).

den: densitat demogràfica.

ingressos: ingressos nacionals (en milions de dòlars dels EUA).

gasol: preu del combustible (en centaus de dòlar dels EUA per litre).

consum: consum anual de gasolina per vehicle (en tones).

Es pretén ajustar un model de regressió per explicar el comportament de la taxa d'automòbils per càpita ( cotxes). A partir dels resultats de les estimacions (Model 1 i Model 2):

a)

Realitzeu el diagnòstic de multicol·linealitat per al model_1 a partir dels indicadors proporcionats.

b)

Detecteu algun problema en l'especificació del model_1 ? En cas afirmatiu, assenyaleu de quin es tracta i com afecta les propietats dels estimadors dels coeficients.

c)

Al model_2 s'han exclòs les variables que no resultaven significatives al 5%. Efectueu el test pertinent per decidir si és preferible el model_1 o el model_2, explicitant la hipòtesi nul·la del contrast.

d)

Utilitzant el model_2, feu una predicció puntual i una estimació per interval per al nombre de vehicles per càpita d'un país amb uns ingressos de 9,8 milions de dòlars i un preu de la gasolina de 4,4 centaus per litre.

Exercici 3. Contrast de proporcions de subscriptors de revistes

L'àrea de màrqueting d'una empresa distribuïdora vol avaluar si la proporció de lectors que se subscriuen a la revista A difereix de la proporció que ho fan a la revista B. S'ha pres una mostra aleatòria simple de 670 clients individuals, registrant les següents freqüències d'adhesió:

139 clients estan subscrits a la revista A.

112 clients estan subscrits a la revista B.

98 persones tenen la subscripció activa a totes dues revistes de forma simultània.

517 usuaris no estan subscrits a cap de les dues revistes.

a.

Confeccioneu la taula de contingència adequada per representar conjuntament aquests resultats.

Subscriptor revista A

Subscriptor revista B

Total

NO

SÍ

NO

SÍ

Total

b.

Formuleu la hipòtesi nul·la i alternativa d'aquest contrast.

c.

Verifiqueu les condicions necessàries per a l'aplicació d'aquesta prova.

d.

Efectueu el contrast mitjançant la metodologia del p-valor a un nivell de significació de l'1% ($\alpha = 0{,}01$) i interpreteu la decisió presa.

Exercici 4. Anàlisi de la despesa familiar en alcohol segons regió

L'Institut Nacional d'Estadística de Bèlgica va recollir informació en una mostra aleatòria simple sobre el percentatge de despesa de les llars en begudes alcohòliques ( salcohol) dividint les observacions segons la regió de residència ( Brussels, Flanders i Walloon). Es vol analitzar el grau d'associació i les diferències de mitjanes entre aquestes tres zones geogràfiques.

> numsummary(salcohol, groups=region, statistics=c("mean", "sd"))

mean sd data:n

brussels 0.03124827 0.02340910 157

flanders 0.01818686 0.01498091 401

walloon 0.03023046 0.02237954 388

> leveneTest(salcohol, region, center=median)

Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)

Df F value Pr(>F)

group 2 31.326 6.733e-14 ***

943

> Anova1 <- aov(salcohol ~ region)

> summary(Anova1)

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

region 2 0.0353 0.017638 45.06 <2e-16 ***

Residuals 943 0.3691 0.000391

> oneway.test(salcohol ~ region)

One-way analysis of means (not assuming equal variances)

data: salcohol and region

F = 50.535, num df = 2.00, denom df = 386.37, p-value < 2.2e-16

a)

Indiqueu si es verifiquen els requisits essencials per interpretar els resultats del grau de relació, fent èmfasi en l'existència de valors atípics.

b)

Suposant complerts els requisits previs, quantifiqueu la magnitud de la relació observada a la mostra mitjançant el coeficient idoni.

c)

Formuleu el contrast per determinar si hi ha diferències a nivell poblacional i indiqueu quins són els estadístics de contrast aplicables per resoldre'l segons l'homogeneïtat de variàncies.

d)

Efectueu la resolució del contrast indicant justificadament quin és l'estadístic procedent en aquest cas. Utilitzeu un nivell de significació del 5%.

e)

Exposeu la conclusió final sobre la relació poblacional entre les dues variables, assenyalant quines eines numèriques o gràfiques us permeten extreure el patró de comportament.

Exercici 1 (2,75 punts). Modelització dels actius financers i multicol·linealitat

Es disposa d'informació mensual sobre el sector financer canadenc entre el setembre de 1977 i el desembre de 1980 ($n = 60$ observacions). Les variables incloses són:

BANKCAN: actius totals de la banca canadenca.

TRSBILL: tipus d'interès dels bons del Tresor a 90 dies.

IPC: índex de preus al consum.

USSPOT: tipus de canvi al comptat (Canadà/EUA).

USFORW: tipus de canvi a termini a un mes (Canadà/EUA).

A continuació es detallen els resultats de l'estimació dels diferents models i les diagnosis pertinents:

a)

Realitzeu el diagnòstic de multicol·linealitat per al model_1 a partir de tots els indicadors facilitats. Si n'hi ha, proposeu una via d'actuació per solucionar el problema.

b)

Expliqueu les conseqüències teòriques de la multicol·linealitat sobre les propietats dels estimadors de la regressió lineal.

c)

Verifiqueu si al model_2 s'ha resolt satisfactòriament el problema de la multicol·linealitat.

d)

Dut a terme el contrast adequat per determinar quin dels dos models, model_2 o model_3, és preferible amb un risc d'error del 5%. Especifiqueu la hipòtesi nul·la corresponent.

Exercici 2 (2,75 punts). Avaluació del model de regressió refinat

A partir del context del problema anterior sobre el mercat financer canadenc, l'equip decideix estimar finalment el model_4, prescindint de la variable TRSBILL:

a)

Calculeu i interpreteu el valor del coeficient de determinació ajustat ($\bar{R}^2$) que ha quedat tapat a la sortida.

b)

Interpreteu l'impacte de cadascuna de les variables explicatives sobre la quantitat d'actius del Banc del Canadà valent-vos dels intervals de confiança al 95% per als paràmetres estimats.

c)

Obtingueu una estimació puntual i calculeu l'interval de predicció del volum d'actius bancaris per a un context econòmic en què l'índex de preus al consum ( IPC) assoleixi un valor de 66,7 punts i el tipus de canvi al comptat ( USSPOT) sigui d'1,0523.

Exercici 3 (1,75 punts). Comparació dels costos de reparació de dos garatges

Una entitat asseguradora sospita que un determinat taller o garatge A (gA) sobrefactura les reparacions respecte a un altre taller B (gB). Per comprovar-ho, va demanar pressupost per reparar els mateixos 40 vehicles a tots dos establiments de forma simultània. Les sortides numèriques i els gràfics següents resumeixen els costos de les estimacions en euros (suposeu normalitat en les dades quan sigui necessari):

a)

Especifiqueu formalment la hipòtesi nul·la i alternativa d'aquest contrast.

b)

Verifiqueu les condicions d'aplicació d'aquesta prova tot indicant quines taules o gràfics heu emprat per fonamentar la resposta.

c)

Resoleu el contrast aplicant el criteri del valor crític (o p-valor). A quina conclusió arriba la companyia asseguradora?

d)

Hauria assolit la mateixa conclusió mitjançant l'anàlisi de l'interval de confiança per a la diferència de mitjanes? Raoneu la resposta.

Exercici 4 (2,75 punts). Relació entre estatus laboral i subscripció

El departament de màrqueting d'un servei editorial vol esbrinar si la situació laboral o ocupacional dels clients està associada al fet d'estar subscrits a una revista concreta. S'han realitzat dues anàlisis alternatives que es reflecteixen en les següents taules:

a.

Raoneu quina de les dues taules satisfà els requisits necessaris per procedir amb l'anàlisi d'associació entre ambdues variables qualitatives.

b.

Calculeu la mesura adequada per quantificar la intensitat de la relació observada a partir de la taula que heu triat en l'apartat anterior i interpreteu el seu resultat.

c.

Formuleu i resoleu el contrast per comprovar si aquesta relació existeix en la població amb un risc d'error del 5%.

d.

Quins col·lectius professionals mostren una major propensió a subscriure's a la publicació? Indiqueu quins valors numèrics de la taula heu comparat per extreure aquesta conclusió.