Examen de Estadística I URV 2021 · Recopilatori d'exàmens de primer parcial d'Estadística

1. Examen 2021 Model 1 - Exercici 1. Interval de confiança passiu corrent

Es disposa d'informació sobre els estats financers d'una mostra de 935 companyies espanyoles de distribució extreta de la base SABI (exercici 2017). La variable perc_Passiu_Corrent recull la fracció que el passiu a curt termini representa respecte al passiu total.

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.99)

One Sample t-test

data: perc_Passiu_Corrent

t = 117.6, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

99 percent confidence interval:

0.7964047 0.8321471

sample estimates:

mean of x

0.8142759

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.95)

One Sample t-test

data: perc_Passiu_Corrent

t = 117.6, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

95 percent confidence interval:

0.8006878 0.8278640

sample estimates:

mean of x

0.8142759 a.

Quina resposta donaríeu a qui asseguri que en la població el valor mitjà d'aquest percentatge és exactament 0,8000?

b.

Assumint que la desviació típica poblacional és de 0,2, determineu les dimensions mostrals requerides per garantir un marge d'error màxim de 0,01 a uns nivells de confiança del 99% i del 95% respectivament.

Examen 2021 Model 1 - Exercici 2. Taula de contingència solvència

A partir de la mateixa base de dades SABI amb 935 empreses de distribució, s'analitza la variable binària solvent_a_ct (val TRUE si l'actiu corrent és superior al passiu corrent i FALSE en cas contrari) creuada amb la tipologia d'activitat comercial de l'empresa:

a.

Quines tipologies de comerç mostren proporcions de solvència a curt termini clarament superiors o inferiors respecte a la mitjana general? Justifiqueu-ho a partir de les xifres de la taula.

b.

Si és procedent, calculeu i interpreteu un índex d'associació adequat. Indiqueu prèviament per què és possible o no el seu càlcul.

3. Examen 2021 Model 1 - Exercici 3. Comparació de proporcions equipament

Amb les 935 empreses del sector comercial, s'han obtingut els intervals de confiança i el recompte de freqüències següents per comprovar el pes relatiu dels diferents sectors:

> t.test(Codi_activitat == "Equip_Llar", conf.level =.99)

99 percent confidence interval: 0.1353565 0.1983334

sample estimates: mean of x: 0.1668449

> t.test(Codi_activitat == "Lleu_Cult", conf.level =.99)

99 percent confidence interval: 0.04075542 0.08116972

sample estimates: mean of x: 0.06096257

Codi_activitat

Frequency

Percent

Ali_Beg_Tab · 129 · 13.797

Alt · 185 · 19.786

Benzin · 45 · 4.813

Equip_Llar · 156 · 16.684

General · 166 · 17.754

Lleu_Cult · 57 · 6.096

TIC · 65 · 6.952

Vest_Cal · 132 · 14.118

Total · 935 · 100.000

a)

Amb una confiança del 99%, es pot concloure que a la població hi ha una presència superior de comerços d'equipament de la llar respecte als de lleure i cultura? Justifiqueu la resposta a partir dels intervals de confiança obtinguts.

b)

Verifiqueu formalment si es compleixen els supòsits necessaris per a l'aplicació vàlida d'aquests intervals.

Examen 2021 Model 1 - Exercici 4. Probabilitat iPhone i iPad

En una recerca sobre hàbits tecnològics entre estudiants d'Economia, es va constatar que el 35% posseeix simultàniament un iPhone i un iPad, el 75% té iPhone i el 40% disposa d'iPad. Si es tria un universitari a l'atzar, calculeu:

· IPhone · IPhone C

IPad · 35 · 5 · 40

IPad C · 40 · 20 · 60

· 75 · 25 · 100

a.

La probabilitat que no disposi de cap dels dos dispositius esmentats.

b.

Sabent que és propietari d'un iPhone, quina és la probabilitat que també tingui iPad?

c.

Són estadísticament independents els successos «tenir iPhone» i «tenir iPad»? Raoneu la resposta.

Examen 2021 Model 1 - Exercici 5. Distribució normal ascensor

L'ascensor d'un centre comercial té una indicació de capacitat que limita la càrrega a «un màxim de 10 persones o 800 kg». S'admet que el pes d'un client segueix una llei normal de mitjana 70 kg i desviació típica 10 kg, i que els pesos dels diferents usuaris són independents.

a.

Quina probabilitat hi ha que un grup de 10 individus sobrepassi el límit de càrrega de l'ascensor?

b.

Si en un instant determinat hi ha 300 compradors a l'edifici i la probabilitat que qualsevol d'ells vulgui pujar a l'ascensor és de 0,05 de forma independent, quina és la probabilitat que en vulguin fer ús com a màxim 10 persones?

Examen 2021 Model 2 - Exercici 1. Interval de confiança passiu corrent

A partir d'una mostra de 935 empreses de distribució (SABI 2017), s'analitza el percentatge que suposa el passiu corrent respecte al total ( perc_Passiu_Corrent). Les sortides obtingudes són:

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.90)

90 percent confidence interval:

0.8028759 0.8256759

mean of x: 0.8142759

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.95)

95 percent confidence interval:

0.8006878 0.8278640

mean of x: 0.8142759 a.

Com valoraria l'afirmació d'algú que sosté que aquest percentatge poblacional és de 0,8000? Responeu amb un nivell de confiança del 95% i del 90%.

b.

Assumint que la desviació típica de la població és 0,25, quina mida mostral és necessària per aconseguir un marge d'error de 0,01 amb una confiança del 90% i del 95%?

Es disposa de la informació creuada de solvència a curt termini ( solvent_a_ct) i sector econòmic per a 935 empreses de distribució:

a.

Quines tipologies de negoci presenten proporcions de solvència a curt termini clarament diferents (més altes o més baixes) que el conjunt? Justifiqueu la resposta numèricament.

b.

Calculeu i interpreteu la V de Cramér si es donen les condicions necessàries.

Examen 2021 Model 2 - Exercici 3. Comparació de proporcions equipament

S'analitzen els intervals de confiança obtinguts per a dos tipus d'activitat comercial a partir de la base de 935 observacions:

> t.test(Codi_activitat == "Equip_Llar", conf.level =.99)

99 percent confidence interval: 0.1353565 0.1983334

mean of x: 0.1668449

> t.test(Codi_activitat == "General", conf.level =.99)

99 percent confidence interval: 0.1452672 0.2098130

mean of x: 0.1775401

Codi_activitat

Frequency

Percent

Ali_Beg_Tab · 129 · 13.797

Alt · 185 · 19.786

Benzin · 45 · 4.813

Equip_Llar · 156 · 16.684

General · 166 · 17.754

Lleu_Cult · 57 · 6.096

TIC · 65 · 6.952

Vest_Cal · 132 · 14.118

Total · 935 · 100.000

a)

Es pot concloure amb un 99% de confiança que a la població hi ha menys empreses dedicades a l'equipament de la llar que a la distribució general?

b)

Indiqueu i comproveu els requisits necessaris per a la validesa d'aquests intervals.

Examen 2021 Model 2 - Exercici 4. Probabilitat iPhone i iPad

En una enquesta sobre estudiants d'Economia, el 30% té simultàniament un iPhone i un iPad, el 75% té iPhone i el 40% disposa d'iPad.

IPhone

IPhone C

IPad

30

10

40

IPad C

45

15

60

75

25

100

a.

Trobeu la probabilitat que un estudiant no disposi de cap dels dos equips.

b.

Si un estudiant disposa d'un iPhone, quina probabilitat té de posseir també un iPad?

c.

Són estadísticament independents els successos «tenir iPhone» i «tenir iPad»?

Sí

No

10. Examen 2021 Model 2 - Exercici 5. Distribució normal ascensor

Un ascensor té fixada una capacitat de «màxim 10 persones o 800 kg». Suposem que el pes d'un individu es distribueix segons $N(75\text{ kg}, 10\text{ kg})$ i que els pesos són independents entre si.

a.

Quina és la probabilitat que 10 persones sobrecarreguin l'aparell?

b.

Si hi ha 300 persones a l'edifici i cadascuna té una probabilitat de 0,04 d'agafar l'ascensor en un instant concret, determineu la probabilitat que coincideixin com a molt 10 individus.

A partir d'una mostra representativa de locals comercials, s'analitza si la superfície (en metres quadrats) està relacionada amb la forma mercantil (individual, SA, SL):

> numSummary(superficie, statistics=c("mean","sd"),groups=forma)

mean sd data:n

individual 40.42730 24.89409 189

SA 58.03647 25.75558 235

SL 58.51497 24.54017 348

> Anova1<-aov(superficie~forma)

> summary(Anova1)

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

forma 2 45737 22869 36.58 6.65e-16 ***

Residuals 769 480701 625

---

Signif. codes: 0 '*' 0.001 '' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

A continuació es presenta una anàlisi repetida havent tractat els valors anòmals (Anova2):

> numSummary(superficie, statistics=c("mean", "sd"), groups=forma)

mean sd data:n

individual 40.42730 24.89409 189

SA 58.03647 25.75558 235

SL 57.95780 23.90110 345

> summary(Anova2)

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

forma 2 43968 21984 35.96 1.18e-15 ***

Residuals 766 468245 611

a)

Es pot afirmar que hi ha relació entre ambdues variables? Interpreteu els gràfics i estadístics numèrics pertinents.

b)

Quantifiqueu la magnitud de la relació a la mostra mitjançant el coeficient eta ($\eta$).

c)

És viable interpretar el resultat de l'apartat anterior? Per què? Independentment d'això, interpreteu-lo.

12. Examen Gener 2019 - Exercici 2. Interval de confiança superfície mitjana

S'ha pres una mostra aleatòria de 773 establiments comercials i s'han obtingut les dades següents sobre la seva superfície:

> numSummary(superficie)

mean sd IQR 0% 25% 50% 75% 100% n

54.01215 26.18807 37.69 4.71 33.61 59.09 71.3 126.01 773

> t.test(superficie, conf.level=.95)

One Sample t-test

data: superficie

t = 57.343, df = 772, p-value < 2.2e-16

a)

Obtingueu l'interval de confiança al 95% per a la mitjana poblacional ($\mu$) de la superfície dels locals comercials.

[

,

] m²

b)

Es satisfan les condicions necessàries per a la validesa d'aquest interval? Justifiqueu-ho.

c)

Independentment de les condicions, determineu si és raonable pensar que la mitjana poblacional pugui ser de 55 metres quadrats.

En un estudi comercial sobre hàbits de compra en clients de 25 a 35 anys, s'ha detectat que la fracció de clients que compren cervesa és del 40% ($P(C) = 0{,}4$), la dels que adquireixen bolquers és del 30% ($P(B) = 0{,}3$), i la dels que adquireixen ambdós productes a la vegada és del 20% ($P(B \cap C) = 0{,}2$).

a.

Si un client ha comprat bolquers, quina probabilitat hi ha que també compri cerveses?

b.

I si no ha comprat bolquers, quina probabilitat té de comprar cerveses?

c.

Són independents els esdeveniments «comprar cerveses» i «comprar bolquers»?

Sí

No

Determineu quina de les funcions següents és una funció de densitat de probabilitat legítima i raoneu per quina raó les altres dues no ho són:

• $f(x) = \begin{cases} 6x^2 - 1 & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ 0 & \text{altre cas} \end{cases}$

• $g(x) = \begin{cases} 1 - x & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ 0 & \text{altre cas} \end{cases}$

• $h(x) = \begin{cases} 3x^2 & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ 0 & \text{altre cas} \end{cases}$

A

$f(x)$

B

$g(x)$

C

$h(x)$

15 Examen Gener 2019 - Exercici 5. Distribució normal central lletera

El volum setmanal de llet comercialitzat per una central lletera segueix una llei normal amb mitjana 17.000 litres i desviació estàndard de 2.500 litres ($X \sim N(17000, 2500)$).

a.

Calculeu la probabilitat que una setmana es venguin menys de 12.000 litres.

b.

A partir de quina xifra es troba el 10% de les setmanes amb vendes més elevades?

litres

c.

Entre quines xifres de vendes se situa el 30% central de les setmanes al voltant de la mitjana?

litres

litres

16 Examen Juny 2019 - Exercici 1. Proporció locals centre comercial

A partir d'una mostra aleatòria de 722 locals comercials d'un municipi, s'analitza quants estan situats en un centre comercial:

a.

Estimeu l'interval de confiança per a la proporció poblacional d'establiments situats en centres comercials amb un risc d'error del 10%.

[

;

]

b.

Es compleixen els requisits previs per poder interpretar aquest interval? Justifiqueu la resposta i interpreteu el resultat obtingut.

Es disposa de la distribució creuada de la situació de 772 locals (al carrer o en centre comercial) i la seva forma jurídica (individual, SA, SL):

a)

Determineu la freqüència esperada de locals individuals situats en centres comercials.

b)

Dels locals situats al carrer, quin percentatge són individuals? Dels que són SL, quin percentatge està en centre comercial? Quin percentatge del total de la mostra són SA i al carrer?

%

%

%

c)

Calculeu la V de Cramér per avaluar la força de l'associació.

d)

És adequat interpretar l'índex anterior? Raoneu la resposta i comenteu el resultat.

e)

Amb quines formes mercantils estan més associats els establiments al carrer? I els situats en centres comercials?

18. Examen Juny 2019 - Exercici 3. Probabilitat controls trànsit i alcoholèmia

En controls rutinaris de trànsit es constata que el 5% dels conductors donen positiu per alcoholèmia ($P(A) = 0{,}05$) i el 10% no porta cordat el cinturó ($P(C) = 0{,}10$). Ambdues infraccions s'assumeixen independents.

a)

Entre els qui no portaven el cinturó de seguretat, quin percentatge donarà positiu en alcoholèmia?

%

b)

Quin percentatge de conductors no incorre en cap de les dues faltes?

%

c)

Quin percentatge de conductors comet com a mínim una d'aquestes infraccions?

%

Examen Juny 2019 - Exercici 4. Distribució binomial infraccions cinturó

A partir de les taxes d'infracció de l'exercici precedent (10% de conductors sense cinturó, $p = 0{,}10$):

a)

Si un agent atura 5 vehicles, quina és la probabilitat que com a mínim un conductor circuli sense cinturó?

b)

Trobeu el valor esperat i la variància de la variable «nombre de conductors sense cinturó en un grup de 5» i interpreteu-los.

c)

Si s'aturen 100 cotxes, quants conductors sense cinturó es trobaran com a màxim amb una probabilitat del 10%?