Examen de Matemàtiques I UPF 2017 · Recuperació 2017-18

Exercici 1 (10 punts). Domini i recorregut d'una funció

Sigui la funció d'una variable definida per:

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - \ln(x^2 + 1)}}$$

a.

Indiqueu el domini de definició de la funció expressat en forma d'interval o bé d'unió d'intervals.

b.

Raoneu detalladament si el valor 2 forma part del recorregut o imatge de $f$.

Sí

No

c.

Raoneu detalladament si el valor $\frac{1}{2}$ pertany a la imatge de $f$.

Sí

No

Exercici 2 (10 punts). Circumferències tangents

Considereu la circumferència d'equació $(x - 7)^2 + (y - 2)^2 = 1$. Determineu l'equació de totes les circumferències de radi 4 que tenen el centre sobre la recta d'equació $y = x + 2$ i que són tangents (és a dir, es toquen en un únic punt) a la circumferència donada.

Indicació: feu un esquema geomètric i deduïu quina ha de ser la distància entre els centres de les dues circumferències.

1.

2.

Exercici 3 (15 punts). Gràfiques, desigualtats i integració

Es consideren les funcions reals:

$$f(x) = 2^{x-2} \quad \text{i} \quad g(x) = \sqrt{x+2} - 1$$

a.

A partir dels desplaçaments elementals de $2^x$ i $\sqrt{x}$, representeu de manera esquemàtica $f$ i $g$. Proveu que ambdues corbes es tallen a $x = 2$ i en un altre punt $x = a$. Trobeu un interval d'amplitud $0.1$ de la forma $[b, b + 0.1]$ que contingui aquest punt $a$.

b.

Determineu de forma gràfica el conjunt de solucions de la desigualtat $f(x) > g(x)$.

c.

Calculeu l'àrea de la regió compresa entre les gràfiques de $f$ i $g$. Per a la integració, considereu com a límit inferior el valor $a$ aproximat pel punt mitjà de l'interval obtingut a l'apartat (a).

Exercici 4 (10 punts). Òptims globals i recorregut

Considereu la funció real de variable real:

$$f(x) = e^{-\frac{1}{2}(x-2)} \sqrt{x+4}$$

a.

Trobeu els extrems globals (màxims i mínims absoluts) de la funció $f$. En cas que algun d'ells no existeixi, justifiqueu-ne el motiu.

b.

Quin és el recorregut (o imatge) de $f$?

Suposeu que la derivada d'una funció $f(x)$ ve donada per:$$f'(x) = e^{\frac{x^2 - 2x}{100}} (20x - 20)$$

a.

Trobeu l'expressió de la funció $f(x)$ sabent que verifica la condició inicial $f(0) = 1000$.

Suposeu que la derivada d'una funció $f(x)$ ve donada per:$$f'(x) = e^{\frac{x^2 - 2x}{100}} (20x - 20)$$

b.

Calculeu l'aproximació lineal (o polinomi de Taylor de grau 1) de $f$ al voltant de $x = 0$ i utilitzeu-la per estimar el valor de $f(0.1)$.

Considereu la corba del pla definida per la relació implícita:

$$e^{x^2 y} = e^2 x$$

suposant que defineix $y$ com una funció derivable respecte de $x$.

a.

Fent ús de la derivació implícita, trobeu l'expressió de la derivada $y'$ i determineu l'equació de la recta tangent a la corba en el punt amb coordenada $x = 1$.

Considereu la corba del pla definida per la relació implícita:

$$e^{x^2 y} = e^2 x$$

suposant que defineix $y$ com una funció derivable respecte de $x$.

b.

Per a quin valor de $x_0$ el diferencial de la funció $y$ val $0{,}003$ en passar d'1 a $x_0$?

Es considera la família de funcions reals:$$f(x) = kx^4 - 2x^2$$

a.

Determineu els intervals de creixement i decreixement, així com els extrems relatius de la funció segons els diversos valors possibles del paràmetre real $k$.

b.

Indiqueu si els òptims locals trobats són també extrems globals, justificant la resposta.

Es considera la família de funcions reals:$$f(x) = kx^4 - 2x^2$$

c.

Estudieu els intervals de concavitat, convexitat i els punts d'inflexió segons els valors de $k$.

Exercici 8 (10 punts). Independència lineal i combinació lineal

Siguin els vectors de $\mathbb{R}^3$ següents:

$$v_1 = (1, a, 3), \quad v_2 = (1, -1, -a), \quad v_3 = (1, 5, 8)$$

a.

Determineu per a quins valors del paràmetre $a$ els tres vectors són linealment independents.

b.

Per a algun valor positiu $a > 0$ que faci que els vectors siguin dependents, expresseu el vector $(1, 5, 8)$ com a combinació lineal dels altres dos vectors:

$$v_3 = \alpha v_1 + \beta v_2$$

Exercici 9 (10 punts). Propietats de matrius i determinants

Sigui $A_n = (a_{ij})$ la matriu quadrada d'ordre $n \ge 2$ definida per:

$$a_{ij} = (-1)^{i+j}$$

a.

Demostreu que la matriu $A_n$ és simètrica.

b.

Calculeu el determinant d'$A_n$ per a qualsevol $n \ge 2$ fent servir les propietats dels determinants.

c.

Calculeu les potències $A_2^2$ i $A_3^2$, i deduïu de forma raonada quina relació general hi ha entre $A_n^2$ i $A_n$.