Examen de Matemàtiques I UPF 2017 · Final (Curs 2017-18)

Pregunta 1 (10 punts). Domini d'una funció amb paràmetre

Es considera la funció següent:

$$g(x) = \sqrt{e^{\frac{1}{10}x+k} - e^{-x}}$$

Determineu el valor que ha de prendre el paràmetre real $k$ per tal que el domini de definició de la funció sigui l'interval $[-10, \infty)$.

Considerem les funcions reals $f(x) = x^2$ i $g(x) = |4x - 5|$.

a.

Dibuixeu la representació gràfica de les funcions $f$ i $g$ sobre el mateix sistema de coordenades cartesianes i determineu el conjunt de solucions de la inequació $f(x) > g(x)$.

Considerem les funcions reals $f(x) = x^2$ i $g(x) = |4x - 5|$.

b.

Calculeu el valor de l'àrea de la regió tancada que delimiten les gràfiques de $f$ i $g$. Especifiqueu detalladament el procediment, així com les integrals plantejades i els seus resultats.

Pregunta 3 (10 punts). Polinomi de Taylor i aproximació numèrica

Es vol obtenir una aproximació del valor de $\sqrt{0.9599}$ mitjançant el polinomi de Taylor d'ordre 1 associat a la funció $f(x) = \sqrt{5 - x^2}$ al voltant d'un punt $x = a$.

a.

Justifiqueu de manera raonada si resulta més convenient escollir com a centre del desenvolupament $a = 1$ o bé $a = 2$.

$a = 1$

$a = 2$

b.

Calculeu el polinomi de Taylor de grau 1 de $f$ centrat en el punt més adequat escollit a l'apartat anterior i feu-lo servir per estimar el valor numèric de $\sqrt{0.9599}$.

Pregunta 4 (10 punts). Escala de Richter i intensitat sísmica

La magnitud $R$ d'un terratrèmol es mesura a l'escala de Richter segons la fórmula:

$$R(I) = \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)$$

on $I$ representa la intensitat del sisme i $I_0$ és la intensitat corresponent a un sisme estàndard de referència.

a.

Trobeu el valor de la intensitat $I^*$ que verifica que, si s'incrementa en 1000 unitats, la magnitud del terratrèmol augmenta en 3 unitats.

b.

Si un terratrèmol té una intensitat de $10^{10}I_0$, quantes vegades és més intens que un sisme que assoleix una magnitud de 6 a l'escala de Richter?

Pregunta 5 [10 punts]. Valor mitjà d'una funció polinòmica

Trobeu el valor del paràmetre estrictament positiu $k > 0$ pel qual el valor mitjà de la funció

$$f(x) = (x^2 - 2x)^3(8x - 8)$$

en l'interval $[0, k]$ és igual a $\frac{81}{k}$.

$k =$

Pregunta 6. Derivació implícita i recta tangent

Es considera la corba plana definida per l'equació implícita:

$$y^2 + (x - 1)y - x^2 y^3 + e^{xy} = 3$$

a.

Derivant implícitament respecte a $x$, trobeu l'expressió de la derivada $y'(x)$.

b.

Calculeu l'equació de la recta tangent a la corba en el punt que té abscissa $x = 0$ i ordenada $y < 0$.

Pregunta 6.c. Aproximació lineal

Es considera la corba plana definida per l'equació implícita:

$$y^2 + (x - 1)y - x^2 y^3 + e^{xy} = 3$$

Feu servir l'aproximació lineal per calcular de manera raonada un valor aproximat de $y(-0.03)$ sabent que $y < 0$.

$y(-0.03) \approx$

Pregunta 7 [15 punts]. Estudi d'una funció racional amb paràmetre

Considerem la funció dependent del paràmetre real $a \in \mathbb{R}$:

$$f(x) = \frac{x}{x^2 - a}$$

a.

Determineu el domini de definició de la funció $f$ segons els valors que prengui el paràmetre $a$.

b.

Trobeu els punts estacionaris i determineu els intervals de creixement i de decreixement de $f$ en funció de $a$.

c.

Calculeu els extrems locals de la funció $f$ segons els valors de $a$, especificant si es tracta de màxims o de mínims relatius.

d.

Estudieu l'existència d'òptims globals de la funció $f$ en funció del paràmetre $a$. En cas que no existeixin màxims o mínims absoluts, justifiqueu-ne el motiu.

Pregunta 8 (10 punts). Vectors ortogonals i dependència lineal

Trobeu tots els vectors $\vec{u} \in \mathbb{R}^3$ que compleixin simultàniament les següents tres condicions:

Són perpendiculars al vector $(1, 0, -1)$.

Tenen norma igual a 2 ($\|\vec{u}\| = 2$).

El conjunt de vectors $\{\vec{u}, (1, 1, -1), (0, 1, 1)\}$ és linealment dependent.

(

,

,

)

(

,

,

)

Pregunta 9 (10 punts). Matrius antisimètriques i càlcul de determinants

Es recorda que una matriu quadrada $A$ s'anomena antisimètrica si compleix que la seva transposada és la seva oposada: $A^T = -A$.

a.

Demostreu que la matriu quadrada d'ordre $n$ definida pels elements $A_n = (a_{ij})$ on $a_{ij} = i - j$ és una matriu antisimètrica.

b.

Calculeu el determinant de la matriu $A_n$ per als casos particulars $n = 2$ i $n = 3$.

c.

Demostreu que el determinant de qualsevol matriu antisimètrica d'ordre $n$ és necessàriament igual a 0 sempre que $n$ sigui senar. (Indicació: feu servir les propietats bàsiques dels determinants).