Exercici 9 · Matemàtiques I UPF 2017

Enunciado

Exercici 9 (10 punts). Propietats de matrius i determinants

Sigui $A_n = (a_{ij})$ la matriu quadrada d'ordre $n \ge 2$ definida per:

$a_{ij} = (-1)^{i+j}$

Demostreu que la matriu $A_n$ és simètrica.

Calculeu el determinant d' $A_n$ per a qualsevol $n \ge 2$ fent servir les propietats dels determinants.

Calculeu les potències $A_2^2$ i $A_3^2$ , i deduïu de forma raonada quina relació general hi ha entre $A_n^2$ i $A_n$ .

Enunciado: Exercici 9 · Matemàtiques I UPF 2017

Según los criterios oficiales de corrección

a. Demostreu que la matriu $A_n$ és simètrica.

Solución: $a_{ij} = (-1)^{i+j} = (-1)^{j+i} = a_{ji} \implies A_n^T = A_n$

b. Calculeu el determinant d' $A_n$ per a qualsevol $n \ge 2$ fent servir les propietats dels determinants.

Solución: 0

b. Justificació mitjançant les propietats dels determinants

Solución: Totes les files són proporcionals a la primera fila, per tant les files són linealment dependents i $|A_n| = 0$ .

c. Relació general per a $A_n^2$ en funció de $n$ i $A_n$

Solución: $n A_n$

c. Càlcul de $A_2^2, A_3^2$ i raonament de la relació

Solución: $A_2^2 = 2A_2$ , $A_3^2 = 3A_3$ , i en general l'element $(i,k)$ suma $n$ cops $(-1)^{i+k}$ , donant $A_n^2 = nA_n$ .

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.