Exercici 7 - Monotonia i extrems segons un paràme… · Matemàtiques I UPF 2017

a. Determineu els intervals de creixement i decreixement, així com els extrems relatius de la funció segons els diversos valors possibles del paràmetre real $k$.

Solución: Si $k \le 0$: creix a $(-\infty, 0)$ i decreix a $(0, \infty)$; màxim local a $x = 0$. Si $k > 0$: decreix a $(-\infty, -1/\sqrt{k})$ i a $(0, 1/\sqrt{k})$; creix a $(-1/\sqrt{k}, 0)$ i a $(1/\sqrt{k}, \infty)$; mínims locals a $x = \pm 1/\sqrt{k}$ i màxim local a $x = 0$.

b. Indiqueu si els òptims locals trobats són també extrems globals, justificant la resposta.

Solución: Si $k < 0$, el màxim local a $x = 0$ és màxim global (no hi ha mínims globals). Si $k = 0$, $x = 0$ és màxim global. Si $k > 0$, els mínims locals a $x = \pm 1/\sqrt{k}$ són mínims globals; el màxim local no és global.