Sujet du Bac Mathématiques 2025 · Asie Jour 1

EXERCICE 1 (5 points)

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

On considère:

$\alpha$ un réel quelconque;

les points $A(1\,;\,1\,;\,0)$, $B(2\,;\,1\,;\,0)$ et $C(\alpha\,;\,3\,;\,\alpha)$;

$(d)$ la droite dont une représentation paramétrique est:

$$\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2t \\ z = -t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}.$$

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

Affirmation 1:

Pour toutes les valeurs de $\alpha$, les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan et un vecteur normal à ce plan est $\vec{j}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Vraie

Fausse

Affirmation 2:

Il existe exactement une valeur du réel $\alpha$ telle que les droites $(AC)$ et $d$ sont parallèles.

Vraie

Fausse

Affirmation 3:

Une mesure de l'angle $\widehat{OAB}$ est $135^\circ$.

Vraie

Fausse

Affirmation 4:

Le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $(d)$ est le point $H$ de coordonnées: $H(1\,;\,2\,;\,2)$.

Vraie

Fausse

Affirmation 5:

La sphère de centre $O$ et de rayon $1$ rencontre la droite $(d)$ en deux points distincts.

On rappelle que la sphère de centre $\Omega$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance $r$ de $\Omega$.

Vraie

Fausse

EXERCICE 2 (5 points)

Une entreprise qui fabrique des jouets doit effectuer des contrôles de conformité avant leur commercialisation. Dans cet exercice, on s'intéresse à deux tests effectués par l'entreprise: un test dit de fabrication et un test dit de sécurité.

À la suite d'un grand nombre de vérifications, l'entreprise affirme que:

$95\,\%$ des jouets réussissent le test de fabrication;

parmi les jouets qui réussissent le test de fabrication, $98\,\%$ réussissent le test de sécurité;

$1\,\%$ des jouets ne réussissent aucun des deux tests.

On choisit au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note:

$F$ l'événement: « le jouet réussit le test de fabrication »;

$S$ l'événement: « le jouet réussit le test de sécurité ».

Partie A

1.

À partir des données de l'énoncé, donner les probabilités $P(F)$ et $P_F(S)$.

2.

(a)

Construire un arbre pondéré qui illustre la situation avec les données disponibles dans l'énoncé.

(b)

Montrer que $P_{\overline{F}}(\overline{S}) = 0{,}2$.

3.

Calculer la probabilité que le jouet choisi réussisse les deux tests.

4.

Montrer que la probabilité que le jouet réussisse le test de sécurité vaut $0{,}97$ arrondi au centième.

5.

Lorsque le jouet a réussi le test de sécurité, quelle est la probabilité qu'il réussisse le test de fabrication ? Donner une valeur approchée du résultat au centième.

EXERCICE 2 (5 points)

Une entreprise qui fabrique des jouets doit effectuer des contrôles de conformité avant leur commercialisation. Dans cet exercice, on s'intéresse à deux tests effectués par l'entreprise: un test dit de fabrication et un test dit de sécurité.

À la suite d'un grand nombre de vérifications, l'entreprise affirme que:

$95\,\%$ des jouets réussissent le test de fabrication;

parmi les jouets qui réussissent le test de fabrication, $98\,\%$ réussissent le test de sécurité;

$1\,\%$ des jouets ne réussissent aucun des deux tests.

On choisit au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note:

$F$ l'événement: « le jouet réussit le test de fabrication »;

$S$ l'événement: « le jouet réussit le test de sécurité ».

Partie B

On prélève au hasard dans la production de l'entreprise un lot de $n$ jouets, où $n$ est un entier strictement positif. On suppose que ce prélèvement se fait sur une quantité suffisamment grande de jouets pour être assimilé à une succession de $n$ tirages indépendants avec remise.

On rappelle que la probabilité qu'un jouet réussisse le test de fabrication est égale à $0{,}95$.

Soit $S_n$ la variable aléatoire qui compte le nombre de jouets ayant réussi le test de fabrication. On admet que $S_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0{,}95$.

1.

Exprimer l'espérance et la variance de la variable aléatoire $S_n$ en fonction de $n$.

2.

Dans cette question, on pose $n = 150$.

a)

Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $P(S_{150} = 145)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

b)

Déterminer la probabilité qu'au moins $94\,\%$ des jouets de ce lot réussissent le test de fabrication. Donner une valeur approchée du résultat à $10^{-3}$ près.

EXERCICE 2 (5 points)

Une entreprise qui fabrique des jouets doit effectuer des contrôles de conformité avant leur commercialisation. Dans cet exercice, on s'intéresse à deux tests effectués par l'entreprise: un test dit de fabrication et un test dit de sécurité.

À la suite d'un grand nombre de vérifications, l'entreprise affirme que:

$95\,\%$ des jouets réussissent le test de fabrication;

parmi les jouets qui réussissent le test de fabrication, $98\,\%$ réussissent le test de sécurité;

$1\,\%$ des jouets ne réussissent aucun des deux tests.

On choisit au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note:

$F$ l'événement: « le jouet réussit le test de fabrication »;

$S$ l'événement: « le jouet réussit le test de sécurité ».

Partie B

Dans cette question, l'entier naturel non nul $n$ n'est plus fixé.

Soit $F_n$ la variable aléatoire définie par: $F_n = \dfrac{S_n}{n}$. La variable aléatoire $F_n$ représente la proportion des jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de $n$ jouets prélevés.

On note $E(F_n)$ l'espérance et $V(F_n)$ la variance de la variable aléatoire $F_n$.

3. a)

Montrer que $E(F_n) = 0{,}95$ et que $V(F_n) = \dfrac{0{,}0475}{n}$.

EXERCICE 2 (5 points)

Une entreprise qui fabrique des jouets doit effectuer des contrôles de conformité avant leur commercialisation. Dans cet exercice, on s'intéresse à deux tests effectués par l'entreprise: un test dit de fabrication et un test dit de sécurité.

À la suite d'un grand nombre de vérifications, l'entreprise affirme que:

$95\,\%$ des jouets réussissent le test de fabrication;

parmi les jouets qui réussissent le test de fabrication, $98\,\%$ réussissent le test de sécurité;

$1\,\%$ des jouets ne réussissent aucun des deux tests.

On choisit au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note:

$F$ l'événement: « le jouet réussit le test de fabrication »;

$S$ l'événement: « le jouet réussit le test de sécurité ».

Partie B

On s'intéresse à l'événement $I$ suivant: « la proportion de jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de $n$ jouets est strictement comprise entre $93\,\%$ et $97\,\%$ ».

En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer une valeur $n$ de la taille du lot de jouets à prélever, à partir de laquelle la probabilité de l'événement $I$ est supérieure ou égale à $0{,}96$.

3. b)

$n \ge$

EXERCICE 3 (5 points)

Un patient doit prendre toutes les heures une dose de 2 mL d'un médicament.

On introduit la suite $(u_n)$ telle que le terme $u_n$ représente la quantité de médicament, exprimée en mL, présente dans l'organisme immédiatement après $n$ prises de médicament.

On a $u_1 = 2$ et pour tout entier naturel $n$ strictement positif: $u_{n+1} = 2 + 0{,}8u_n$.

Partie A

En utilisant ce modèle, un médecin cherche à savoir à partir de combien de prises du médicament la quantité présente dans l'organisme du patient est strictement supérieure à 9 mL.

1.

2.

Montrer, par récurrence sur $n$, que $u_n = 10 - 8 \times 0{,}8^{n-1}$ pour tout entier naturel $n$ strictement positif.

3.

4.

Soit $N$ un entier naturel strictement positif, l'inéquation $u_N \ge 10$ admet-elle des solutions ? Interpréter le résultat de cette question dans le contexte de l'exercice.

5.

Partie B

En utilisant la même modélisation, le médecin s'intéresse à la quantité moyenne de médicament présente dans l'organisme du malade au cours du temps.

On définit pour cela la suite $(S_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ strictement positif par

$$S_n = \frac{u_1 + u_2 + \dots + u_n}{n}$$

On admet que la suite $(S_n)$ est croissante.

1.

2.

Montrer que, pour tout entier naturel $n$ strictement positif,

$$u_1 + u_2 + \dots + u_n = 10n - 40 + 40 \times 0{,}8^n$$

3.

4.

On donne la fonction mystere suivante, écrite en langage Python.

Dans le contexte de l'énoncé, que représente la valeur renvoyée par la saisie mystere(9) ?

5.

Justifier que cette valeur est strictement supérieure à 10.

On considère $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0\;\ +\infty[$ par $f(x) = \dfrac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$ et on appelle $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1.

On définit la fonction $g$ sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par $g(x) = \mathrm{e}^{\sqrt{x}}$.

a)

Montrer que $g'(x) = f(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0; +\infty[$.

b)

Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0; +\infty[$, calculer $f'(x)$ et montrer que: $$f'(x) = \frac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}(\sqrt{x} - 1)}{4x\sqrt{x}}$$

3.

b)

Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $]0; +\infty[$. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ en y faisant figurer les limites aux bornes de l'intervalle de définition.

5.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0; +\infty[$ et que: $$f''(x) = \frac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}(x - 3\sqrt{x} + 3)}{8x^2\sqrt{x}}$$

a)

En posant $X = \sqrt{x}$, montrer que $x - 3\sqrt{x} + 3 > 0$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0; +\infty[$.

b)

Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0; +\infty[$.

On considère $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0\;\ +\infty[$ par $f(x) = \dfrac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$ et on appelle $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

2.

a)

Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.

b)

Interpréter graphiquement ce résultat.

3.

a)

Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

c)

Démontrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution sur l'intervalle $[1; +\infty[$ et donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près de cette solution.

On considère $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0\;\ +\infty[$ par $f(x) = \dfrac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$ et on appelle $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

On pose $I = \displaystyle\int_{1}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x$.

a)

Calculer $I$. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au centième.

b)

Interpréter graphiquement le résultat obtenu.