Exercice 2 - Sommes de variables aléatoires · Bac Mathématiques Asie 2025 (jour 1)

EXERCICE 2 (5 points)

Une entreprise qui fabrique des jouets doit effectuer des contrôles de conformité avant leur commercialisation. Dans cet exercice, on s'intéresse à deux tests effectués par l'entreprise: un test dit de fabrication et un test dit de sécurité.

À la suite d'un grand nombre de vérifications, l'entreprise affirme que:

$95\,\%$ des jouets réussissent le test de fabrication;

parmi les jouets qui réussissent le test de fabrication, $98\,\%$ réussissent le test de sécurité;

$1\,\%$ des jouets ne réussissent aucun des deux tests.

On choisit au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note:

$F$ l'événement: « le jouet réussit le test de fabrication »;

$S$ l'événement: « le jouet réussit le test de sécurité ».

Partie B

Dans cette question, l'entier naturel non nul $n$ n'est plus fixé.

Soit $F_n$ la variable aléatoire définie par: $F_n = \dfrac{S_n}{n}$. La variable aléatoire $F_n$ représente la proportion des jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de $n$ jouets prélevés.

On note $E(F_n)$ l'espérance et $V(F_n)$ la variance de la variable aléatoire $F_n$.

3. a)

Montrer que $E(F_n) = 0{,}95$ et que $V(F_n) = \dfrac{0{,}0475}{n}$.