Exercice 3 · Bac Mathématiques Asie 2025 (jour 1)

Partie A - 1. Calculer la valeur u_2.

Réponse : $3{,}6$

Partie A - 2. Montrer, par récurrence sur n, que u_n = 10 - 8 * 0,8^(n-1) pour tout entier naturel n strictement positif.

Réponse : Démonstration par récurrence : initialisation pour n=1, hérédité en calculant u_{n+1} = 2 + 0,8 u_n, puis conclusion.

Partie A - 3. Déterminer lim u_n quand n -> +infini.

Réponse : $10$

Partie A - 3. Donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Réponse : La quantité de médicament présente dans l'organisme du patient tend vers 10 mL à long terme.

Partie A - 4. Soit N un entier naturel strictement positif, l'inéquation u_N >= 10 admet-elle des solutions ? Interpréter le résultat de cette question dans le contexte de l'exercice.

Réponse : Non, l'inéquation n'admet pas de solution. La quantité de médicament sera toujours strictement inférieure à 10 mL.

Partie A - 5. Déterminer à partir de combien de prises de médicament la quantité présente dans l'organisme du patient est strictement supérieure à 9 mL.

Réponse : $11$

Partie A - 5. Justifier votre démarche.

Réponse : Résolution de l'inéquation 10 - 8*(0,8)^(n-1) > 9 en isolant (0,8)^(n-1) < 1/8 puis application du logarithme népérien en tenant compte du signe négatif de ln(0,8).

Partie B - 1. Calculer S_2.

Réponse : $2{,}8$

Partie B - 2. Montrer que, pour tout entier naturel n strictement positif, u_1 + u_2 + ... + u_n = 10n - 40 + 40 * 0,8^n.

Réponse : Somme des termes en utilisant u_k = 10 - 8 * (0,8)^(k-1), puis la somme des termes d'une suite géométrique de raison 0,8.

Partie B - 3. Calculer lim S_n quand n -> +infini.

Réponse : $10$

Partie B - 4. Dans le contexte de l'énoncé, que représente la valeur renvoyée par la saisie mystere(9) ?

Réponse : Le nombre minimal de prises n à partir duquel la quantité moyenne de médicament dans l'organisme dépasse 9 mL (S_n >= 9).

Partie B - 5. Justifier que cette valeur est strictement supérieure à 10.

Réponse : Comme u_n est croissante vers 10, la moyenne S_n est inférieure ou égale à u_n. Comme u_n <= 9 pour n <= 10, S_n ne peut pas dépasser 9 pour n <= 10.