Exercice 1 · Bac Mathématiques Asie 2025 (jour 1)

Affirmation 1 : Pour toutes les valeurs de $\alpha$, les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan et un vecteur normal à ce plan est $\vec{j}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Réponse : Fausse

Justification de l'affirmation 1

Réponse : Calcul du produit scalaire avec le vecteur directeur : $\vec{AC} \cdot \vec{j} = 2 \neq 0$, donc $\vec{j}$ n'est pas orthogonal à $\vec{AC}$.

Affirmation 2 : Il existe exactement une valeur du réel $\alpha$ telle que les droites $(AC)$ et $d$ sont parallèles.

Réponse : Fausse

Justification de l'affirmation 2

Réponse : Le système de colinéarité donne $\lambda = 1$, d'où $\alpha = 2$ et $\alpha = -1$, ce qui est impossible. Aucune valeur de $\alpha$ ne convient.

Affirmation 3 : Une mesure de l'angle $\widehat{OAB}$ est $135^\circ$.

Réponse : Vraie

Justification de l'affirmation 3

Réponse : $\cos(\widehat{OAB}) = \frac{\vec{AO} \cdot \vec{AB}}{\|\vec{AO}\| \|\vec{AB}\|} = \frac{-1}{\sqrt{2} \times 1} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, d'où $\widehat{OAB} = 135^\circ$.

Affirmation 4 : Le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $(d)$ est le point $H$ de coordonnées : $H(1\,;\,2\,;\,2)$.

Réponse : Fausse

Justification de l'affirmation 4

Réponse : $H(1 ; 2 ; 2)$ n'appartient pas à $(d)$ (ou les coordonnées du projeté sont $(\frac{4}{3} ; \frac{2}{3} ; -\frac{1}{3})$).

Affirmation 5 : La sphère de centre $O$ et de rayon $1$ rencontre la droite $(d)$ en deux points distincts.

Réponse : Vraie

Justification de l'affirmation 5

Réponse : $OM^2 = 1 \iff 6t^2 + 2t = 0 \iff t=0$ ou $t=-\frac{1}{3}$, soit deux points d'intersection distincts.